数学分析:多元微积分1

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卓里奇的数学分析的好处在于直接从多元函数来入手多元微积分,引出矩阵,十分自然。

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紧集的概念,感觉直接用闭集去理解就行,(对于图形学来说)。

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多元函数的极限,其实和单元函数并没有什么区别。

 这里引出了完备度量空间的概念,其实我一开始也没明白为什么基本点列会没有极限,后来查了才知道,对于一个开区间(a,b),如果它的基本点列最终的极限是b,那么因为b不在这个空间中,所以我们认为这个空间不是完备度量的空间。

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 这个还挺有意思的,对于极限趋于无穷的写法是,对于任何球的邻域,都可以找到一组基,使得这组基对应的像都不在这个球中。换句话说,再大的球,我们都可以找到一组基,使得基里的每个像都比这个球还要大,这就是无穷。

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这里引出了道路的定义,就是一个区间I到R^n的连续映射。一般来说,就是闭区间[a,b],

根据f(t)=R^n的映射建立的道路。

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一致连续的意思是,对于任何\varepsilon,都可以找到一个足够小的区间,在这个区间上的任何两点对应的像的距离都小于它。

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这里面强调的紧集,可以理解成闭集(对于图形学)。

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 这是数学分析这本书里面的简写,但我感觉对于不习惯的人来说,理解起来很费劲。还是尽量用求和公式来表示吧。

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 我们把(7)用普通的求和公式来写:

L(h)=L(\sum_{i=1}^{n}h_ie_i)=\sum_{i=1}^{n}h_iL(e_i)=\sum_{i=1}^{n}h_i\sum_{j=1}^{m}a_j^iw_j

具体子母上我做了调整。不过这里也可以看到爱因斯坦符号的好处,确实非常简洁。

我们挑第一个分量验证下,

L_1(h) = h_1a_1^1 + h_2a_2^1 + .... + h_na_n^1

确实就是(8)

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写成矩阵形式,就是(10),所以线性映射对应一个矩阵,而自变量对应一个向量,结果也是一个向量。

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 这是范数的定义,就是我们常规理解下的距离。

接下来的内容是非常重要的,我觉得有必要单独另起一篇来讲

 

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