【知识点】（五）多元函数微积分学

多元微分

1. 极限偏导可微

极限：设函数 $z=f(x,y)$ 在去心邻域 $D$ 有定义，$M_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的内点或边界点，$M(x,y)\in D$，
$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A<=>\forall ϵ>0，\exists \sigma >0，0<|M{M}_0|=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\sigma ，有|f(x,y)-A|<ϵ$$

连续：设函数 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 某个实心邻域有定义
$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

偏导：
函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，可记为 $f_x^{{}^{\prime }}(x_0,y_0)$、$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$、$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$

$$f_x^{{}^{\prime }}(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处对 $y$ 的偏导数，可记为 $f_y^{{}^{\prime }}(x_0,y_0)$、$\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0)}$、$\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0)}$

$$f_y^{{}^{\prime }}(x_0,y_0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$

可微：函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 表示为 $$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2})$$ 则函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 可微，$A\Delta x+B\Delta y$ 为全微分，$\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$ 可记为 $\rho$

2. 复合函数求导

链式求导：

• 设 $z=f(u,v),u=\varphi (t),v=\psi (t)$，则 $z=f[\varphi (t),\psi (t)]$ $$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}$$

• 设 $z=f(u,v),u=\varphi (x,y),v=\psi (x,y)$，则 $z=f[\varphi (x,y),\psi (x,y)]$ $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

• 设 $z=f(u,v),u=\varphi (x,y),v=\psi (y)$，则 $z=f[\varphi (x,y),\psi (y)]$ $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy}$$

符号 $f^{{}^{\prime }}$：

• 设 $z=f(u,v)，f(x)=\{\begin{array}{l}u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{array}，f_1^{{}^{\prime }}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u}，f_2^{{}^{\prime }}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial v}$，分别简记为 $f_1^{{}^{\prime }}$ 和 $f_2^{{}^{\prime }}$

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{{}^{\prime }}\frac{\partial u}{\partial x}+f_2^{{}^{\prime }}\frac{\partial v}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial y}=f_1^{{}^{\prime }}\frac{\partial u}{\partial y}+f_2^{{}^{\prime }}\frac{\partial v}{\partial y}$$

• 书写混淆时, $f_1^{{}^{\prime }}(u,v)$ 不可简记为 $f_1^{{}^{\prime }}$，如 $z=f(x+y,f(x,y))$

全微分：

• 隐函数 $F(x,y,z)=0$的全微分，$F_x^{{}^{\prime }}dx+F_y^{{}^{\prime }}dy+F_z^{{}^{\prime }}dz=0$
• 全微分：$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

3. 多元函数极值

无条件极值：

• 必要条件：$f(x,y)$ 偏导为0或不存在
• 充分条件：$f_x^{{}^{\prime }}(x_0,y_0)=0,f_y^{{}^{\prime }}(x_0,y_0)=0$；$f_{xx}^{{}^{\prime \prime }}(x_0,y_0)=A,f_{xy}^{{}^{\prime \prime }}(x_0,y_0)=B,f_{yy}^{{}^{\prime \prime }}(x_0,y_0)=C$
  $$\Delta =AC-B^2\{\begin{array}{ll}>0& \text{A<0 极大值，A>0 极小值}\\ <0& \text{非极值}\\ =0& \text{方法失效}\end{array}$$

条件极值：求函数 $f$ 在条件函数 $\varphi$ 的极值和最值

• 拉格朗日乘数法：
  $F(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda \varphi (x,y,z)$，列方程组 $F_x^{{}^{\prime }}=0、F_y^{{}^{\prime }}=0、F_z^{{}^{\prime }}=0、F_{\lambda }^{{}^{\prime }}=0$

• 欧拉定理：
  设 $F(x,y,z)$ 是 $k$ 次齐次函数，且 $F(x,y,z)$ 有一阶偏导，则 $x{F}_x^{{}^{\prime }}+y{F}_y^{{}^{\prime }}+z{F}_z^{{}^{\prime }}=kF(x,y,z)$，故 $F(x,y,z)$ 值可表示成为$\lambda$，并且$\lambda$可用行列式求得

• 直接代入法：
  设函数 $f(x,y)$ 和条件函数 $\varphi (x,y)$ 是关于 $x,y$ 的二元函数，则 $y$ 可表示成为 $x$ 代入 $f(x,y)$，一元函数极值法求出极值和端点值

多元积分

1. 概念和性质

概念：设函数 $z=f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有定义，区域 $D$ 任意划分为内任意 $n$ 小区域：$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,...,\Delta {\sigma }_n$，每个 $\Delta {\sigma }_i$ 任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，记 $d_i$ 为 $\Delta {\sigma }_i$ 半径，$\lambda =max\{d_1,d_2,...,d_n\}$ $$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i=\iint f(x,y)d\sigma$$

性质：$${\iint }_D[f(x,y)+g(x,y)]d\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$ $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma ，{\iint }_{D}d\sigma =\sigma$$

2. 积分对称性

普通对称性：

• $D$ 关于 $y$ 轴对称，$f(x,y)$ 关于 $x$ 奇偶性
• $D$ 关于 $x$ 轴对称，$f(x,y)$ 关于 $y$ 奇偶性

轮换对称性：

• $D$ 关于 $y=x$ 轴对称，则 $\iint f(x,y)d\sigma =\iint f(y,x)d\sigma$
• $D$ 关于 $y=-x$ 轴对称，则 $\iint f(x,y)d\sigma =\iint f(-y,-x)d\sigma$

3. 直角和极坐标系

直角坐标系：

• X型区域 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_1(x)}f(x,y)dy$
  
• Y型区域 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_1(y)}f(x,y)dx$
  

极坐标系：${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdrd\theta$

• ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdr(极点O在区域D外)$

• ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_0^{r_{(}\theta )}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdr(极点O在区域D边界)$

• ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{r_{(}\theta )}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdr(极点O在区域D内)$

4. 坐标系相互转换

① 公式 $\{\begin{array}{l}x=rcos\theta \\ y=rsin\theta \end{array}$ ② 画好区域 $D$ 图形，确定上下限转化

5. 交换积分次序

固定 $x$ 扫描 $y$：
$${\int }_0^{1}dy{\int }_0^{y}f(x,y)dx\to \int dx\int f(x,y)dy$$

固定 $r$ 扫描 $\theta$：
$${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^{2cos\theta }f(rcos\theta ,rsin\theta )rdr\to \int rdr\int f(rcos\theta ,rsin\theta )d\theta$$

极坐标换序时，固定 $r$ 长度从一端扫到另一端。上图中间弧线为界，左侧 $\theta$ 和右侧 $\theta$ 起始大小不同，所以需要拆分为两个积分。

参考资料