基础算法-前缀和与差分-C++

前缀和与差分-C++实现

算法基本思想及步骤

前缀和：s[i]是a[1]逐次加到a[i]的和，s[i][j]是a[1][1]加到a[i][j]的和
1、 一维前缀和：s[i] = a[1] + a[2] + … + a[i]，求子区间的和，即a[l] + … + a[r] = s[r] - s[l - 1]， 先求s[i]，再用s[r] - s[l - 1]计算子区间的和（默认s[0] = 0）
2、二维前缀和：矩阵中s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1]，求前缀和矩阵中子矩阵的和，即以（x1, y1）为左上角，以（x2, y2）为右下角的子矩阵的和为s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]

差分：a[i]是b[i]的前缀和，b[i]是a[i]的差分，即b[i] = a[i] - a[i - 1]
1、一维差分：b[l] += c, b[r + 1] -= c，给b[l]加上c，则求得的a[l]及之后的数都自动加上了c，给b[r + 1]减去c，则求得的a[r]及之后的数都自动减去了c，实现给区间[l, r]中的每个数加上c
2、二维差分：b[x1, y1] += c, b[x2 + 1][y1] -= c, b[x1][y2 + 1] -= c, b[x2 + 1][y2 + 1] += c，实现给以（x1, y1）为左上角，（x2, y2）为右下角的子矩阵中的所有元素加上c

题目关键点：联系图理解一维和二维原理

AcWing题库-795-前缀和

题目
输入一个长度为n的整数序列。

接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。

对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10

思路解析：
一维前缀和即前n项和，即s[i] = a[1] + a[2] + …+a[i]，且s[i] = s[i - 1] + a[i] 求得了每一个前缀和之后就可以直接由s[r] - s[l - 1]获得区间[l, r]的和

代码

#include

using namespace std;

const int N = 100010;

int main()
{
    int m, n, a[N], b[N];  //b[i]存储a[i]数组的前缀和
    
    scanf ("%d %d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf ("%d", &a[i]);
        b[i] = b[i - 1] + a[i];
    } 
    
    while(m--)  //m次询问
    {
        int l, r;
        scanf ("%d %d", &l, &r);
        cout << b[r] - b[l - 1] << endl;  //求区间和
    }
    
    return 0;
}

AcWing题库-796-子矩阵的和

题目
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21

思路解析：
二维前缀和需要联系矩阵思考，例如将下列表格看作一个点矩阵，每个表格内均为该点的行列数，则这个矩阵a[i][j]中，二维前缀和s[i][j]即为从（1,1）到（i, j）这个矩阵内所有数的和，例如 s[2][2] = a[1][1] + a[1][2] + a[2][1] + a[2][2] ，那么就可以推知，这个前缀和的一个子矩阵（左上角为（x1, y1），右下角为（x2, y2））的和为 s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1] ，例如左上角为（2,2）右下角为（4,4），那么这个子矩阵的和就是 s[4][4] - s[1][4] - s[4][1] + s[1][1] ，如果将子矩阵缩小到一个点，即（x1, y1）和（x2, y2）重合，则可以推出二维前缀和的公式 s[i][j] = s[i][j] - s[i - 1][j] - s[i][j - 1] + s[i - 1][j - 1]

（1,1）	（1,2）	（1,3）	（1,4）	（1,5）
（2,1）	（2,2）	（2,3）	（2,4）	（2,5）
（3,1）	（3,2）	（3,3）	（3,4）	（3,5）
（4,1）	（4,2）	（4,3）	（4,4）	（4,5）
（5,1）	（5,2）	（5,3）	（5,4）	（5,5）

代码

#include

using namespace std;

const int N = 1010;

int main()
{
    int m, n, q, a[N][N];
    
    scanf ("%d %d %d", &n, &m, &q);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {    
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            scanf ("%d", &a[i][j]);
            a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];  //直接用前缀和覆盖原矩阵
        }
    }
    
    while (q--)  //q次询问
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf ("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        cout << a[x2][y2] - a[x1 - 1][y2] - a[x2][y1 - 1] + a[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
        //求子矩阵和
    }
    
    return 0;
}

AcWing题库-797-差分

题目
输入一个长度为n的整数序列。

接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数序列。

接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。

输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。

数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2

思路解析：
差分与前缀和含义相反，如果 a[i] 是 b[i] 的前缀和，则 b[i] 就是 a[i] 的差分，即 b[i] = a[i] - a[i - 1]，如果要让 [l, r] 区间内的所有数加上一个c，只需先让b[l]加上c，则计算前缀和的时候a[l]及其后面的数都会自动加上一个c，因为前缀和是累加的。再让b[r + 1]减去c，同理，a[r] 后面的数都会自动减去一个 c ，同时进行 b[l] + c 和 b[r + 1] - c 的操作就可以使最后算出的前缀和中区间 [l, r] 内每个数都加上一个 c ，为了统一计算，求初始差分数组 b[i] 时可以看作让区间 [i, i] 内每个数（其实只有一个数）加上一个 a[i]

代码

#include

using namespace std;

const int N = 100010;

int b[N];
//使(l, r)区间内的前缀和都加上c
void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    int n, m, a[N];
    
    scanf ("%d %d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf ("%d", &a[i]);
        insert(i, i, a[i]);  //求初始差分数组
    }
    
    while (m--)
    {
        int l, r, c;
        scanf ("%d %d %d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        b[i] += b[i - 1];  //求前缀和
        cout << b[i] << ' ';
    }
    
    return 0;
}

AcWing题库-798-差分矩阵

题目
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数n,m,q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

思路解析：
二维差分同样可以联系矩阵思考，其余原理与一维差分相似，对于如下矩阵，每个格子内的数均为其对应的行列数，前缀和a[i][j]仍然表示的是从（1,1）到（i, j）的矩阵中点的和，如果要让特定子矩阵（左上角为（x1, y1），右下角为（x2, y2））内的每个数加上c，需要进行四步操作，①b[x1][y1] + c，②b[x1][y2 + 1] - c，③b[x2 + 1][y1] - c，④b[x2 + 1][y2 + 1] + c。以下面矩阵为例，如果要让（2, 2）到（3, 3）的子矩阵内每个数都加上一个c，先让b[2][2] + c，则（2,2）到（5,5）之间的前缀和都加了c，但是我们并不需要给（4,2）到（5,5）和（2,4）到（5,5）之间的前缀和加c，所以要让b[5][2] - c，b[2][5] - c，但这时（4,4）到（5,5）之间的前缀和被减了两次c，所以要让b[4][4]再加上一个c，这样就达到了只让子矩阵内的数加上c的操作，同样为了统一化操作，求初始差分矩阵的时候可以看作让子矩阵缩小到只有一个点，即（x1, y1）和（x2, y2）重合，也就是说对（i, j）到（i, j）的子矩阵内所有数（只有一个数）加上a[i][j]

（1,1）	（1,2）	（1,3）	（1,4）	（1,5）
（2,1）	（2,2）	（2,3）	（2,4）	（2,5）
（3,1）	（3,2）	（3,3）	（3,4）	（3,5）
（4,1）	（4,2）	（4,3）	（4,4）	（4,5）
（5,1）	（5,2）	（5,3）	（5,4）	（5,5）

代码

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int b[N][N];
//使（x1, y1）和（x2, y2）两点之间的子矩阵内的数都加上c
void insert (int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -=c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    int n, m, q, a[N][N];
    
    scanf ("%d%d%d", &n, &m, &q);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            scanf ("%d", &a[i][j]);
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);  //求初始差分矩阵
        }
    }
    
    while(q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert (x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];  //求二维前缀和
            cout << b[i][j] << ' ';
        }
        cout << "\n";
    }
    
    return 0;
}

（模板来源于AcWing算法基础课）