[基础算法]前缀和与差分

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一、前缀和

1.1 一维前缀和

如何求出某一段区间内的和？——这里可以使用前缀和

如果有一个长度为n的数组：a1，a2…an
前缀和：Si = a1+a2+…+ai

1、如何求Si

S0 = 0;
for(i = 1; i <= n; ++i)
{
	S[i] = S[i - 1] + ai;
}

这里for循环是从1开始的，原因是为了保证计算S10 - S0 = 1 - 10区间内的和

2、前缀和的作用

快速求出原数组一段数的和[l，r]
Sr - Sl-1
Sr = a1 + a2 + … + al-1 + al + … + ar
Sl-1 = a1 + a2 + … + al-1
比如求[1，10]的和也就是求S10 - S0
就把S0定为0，此时就是S10

前缀和

#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 100010;
int arr[N], sum[N];
int main()
{
    int m,n,x;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cin >> x;
        sum[i] = sum[i - 1] + x; // 前缀和数组
    }
    while (m--)
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        cout << sum[r] - sum[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

拓展：

ios::sync_with_stdio(false); // 提高cin的读取速度——不能在使用scanf了

数据规模＞一百万建议使用scanf

1.2 二维前缀和

二维前缀和S[i,j]的含义：

S[i,j]如何计算

S[i,j] = S[i-1,j] + S[i,j-1] - S[i-1,j-1] + a[i,j]

以（x1，y1）为左上角，（x2，y2）为右下角的子矩形所有数的和该如何计算

S(x2,y2,x1,y1) = S(x2,y2) - S(x1-1,y2) - S(x2,y1-1) + S(x1-1,y1-1)
注意：aij表示以i，j坐标为顶点，单位为1的小矩阵，也就是坐标对应的是一个小方格，而非点
因此在二维矩阵中，算一个小矩阵的面积模板为：
Sij = ?

for (i~n)
{
	for(j~m)
	{
		Sij = Si-1,j + Si,j-1 - Si-1,j-1 + aij;
	}
}

注意：
前缀和一般for循环是从1开始，因为会涉及i-1，j-1
子矩阵的和

#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
int sum[N][N], arr[N][N];
int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            scanf("%d", &arr[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + arr[i][j]; // 求出前缀和
        }
    }
    while (q--)
    {
        int x1, x2, y1, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        cout << sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1- 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1] << endl; // 求子矩阵的和
    }
    return 0;
}

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二、差分

2.1 一维差分

差分实际上是前缀和的逆运算
有一个数组：a1，a2，…，an
构造一个B数组：b1，b2，…，Bn
使得ai = b1 + b2 + … bi——a数组是b数组的前缀和
一维构造：
b1 = a1
b2 = a2 - a1
b3 = a3 - a2
…
bn = an - an-1
证明：
a1 = b1
a2 = b2 + b1
a3 = b3 + b2 + b1
因此只要有b数组，通过前缀和运算，就可以在O（n）时间内得到a数组
b数组称为a的差分，a称为b的前缀和
差分的作用：
在一个区间[l，r]内，要使得a数组的每一个值都加上一个c，使得a(l) + c ，a(l+1) + c ，…，a® + c时间复杂度就是O（n），用差分就可以达到O（1）

for(l~r)
{
	a[i] + c;
}

对于b数组某一个位置修改，就会影响到a数组从这个位置开始后面每一个位置的修改——因为b数组的前缀和就是a数组
让b数组中b(l)+c，a数组就会受到影响：
a(l) + c， a(l + 1) + c … a(n) + c ——因为a(l)=b1+…+bl ，a(l+1) = b1 + … +b(l+1)，a数组后续都会受到影响
然后打一个补丁：b(r+1) - c

这样子，就保证了不会影响l，r区间内的数，因此得出一维差分的结论：

a数组[l，r]区间的每一个数加上一个常数c，只需要让b数组做
b[l] += c;    b[r+1] -= c; 时间复杂度为O(1)

因此只需要O（1）的时间给一个数组加上一个给定的值
假定a数组原本都是0，这样b数组所有也都是0
但是a数组是有值的，因此可以假定进行了n次插入操作，也就是a数组第一个数为[1,1] + a1，第二个数就是[2，2]+a2

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c) // [l, r]这段区间+c
{
    // 构造差分数组b
    b[l] += c; // b[l]+c后，a[l]及其之后的所有数都加上了c
    b[r + 1] -= c; // 这样子a[r+1]及其之后的所有数都减去了c
}

int main()
{
    cin >> n >> m; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        insert(i, i, a[i]); // 初始ab数组都是0，b是a的差分数组，但是a数组填入数后，为了保证b仍然是a的差分，所以这里要insert
    }
    
    while (m--)
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l, r, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        a[i] = a[i - 1] + b[i]; // a数组就是b数组的前缀和
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cout << a[i] << " ";
    }
    
    return 0;
}

2.2 二维差分

a数组是b数组的前缀和数组，那么b是a的差分数组

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]); // 构造差分矩阵b
        }
    }
    
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    // 求b数组的二维前缀和
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j]; // a数组就是b数组的前缀和，这样子就求出a数组
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            printf("%d ", a[i][j]);
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}