平衡二叉树AVL、哈夫曼树

完全不知道写的什么东西

定义

首先，平衡二叉树也是二叉排序树(搜索树)
其次，AVL树的任何一个结点，左右子树的高度差的绝对值不超过1。
平衡二叉树可以是是空树

\qquad 因为一般的二叉排序树，如果直接输入排序数据，就会产生一棵单支树，其平均查找长度为$O(n)$。
\qquad 如果限制其每个结点的左右子树高度差不超过1，那么平均查找复杂度为$O(logn)$。

平衡因子：某节点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该节点的平衡因子。
\qquad 平衡二叉树中不存在平衡因子大于 1 的节点。在一棵平衡二叉树中，节点的平衡因子只能取 0 、1 或者 -1 ，分别对应着左右子树等高，左子树比较高，右子树比较高。

平衡二叉树的插入

平衡二叉树的插入同二叉排序树，不同的是，平衡二叉树在插入后，如果导致树内某个结点的平衡因子绝对值大于1，则需要做相应调整，使之恢复平衡。
我们需要找到离插入结点最近的失衡结点A，在以A为根的子树上，在保持排序特性的情况下，进行调整。

具体失衡分为四种情况：

1.LL（右旋）：A的左子B的左子树上插入节点导致A失衡。

调整：直接让左子B代替A，A称为B的右子，同时让BR成为A的左子。

2.RR（左旋）：A的右子B的右子树上插入节点导致A失衡。
调整：直接让A的右子B代替A，A称为B的左子，同时让BL成为A的左子。

3.LR（先左后右）：A左子的右子树上插入结点导致A失衡。
调整： 先左旋，让E替代B，再右旋，让E替代A。
右子树的根节点E替代A，B/A分别为E的左子/右子。


4.RL（先右再左）：A右子的左子树上插入结点导致A失衡。
调整：先右旋，让D替代C，再左旋让D替代A。
将左子树的根节点D代替A，A/C分别成为其左/右子树。

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考研向

因为平衡二叉树AVL基本不会出算法题，基本都是以性质为主.
1.在已知平衡树内插入结点，求新的平衡二叉树。

1.四种变换

主要考四种变换，四种变化的核心是失衡点A，及其与插入点间的祖先B，C该如何替换A——LL，RR让B替换A，LR，RL让C替换A。
子树分配：去替换的那个结点左右子树分配给未替换的两个。

如LL中，B替换A，B的BR就得给A,而A，C原本的AR,CL,CR不需要动

2.AVL的最少结点

h层平衡二叉树的最少结点数：$n_h=1+n_{h-1}+n_{h-2}$
其中 $n_0=0,n_1=1,n_2=2$
所有非叶子结点平衡因子均为1 $⟶$ 最少结点

5层AVL最少：12个结点
6层AVL最少：20个结点

3.删除再插入

平衡树 叶/非叶 $⟶$ 删除再插入之后，均可能不同 or 相同！

平衡二叉树 $⟶$ 一切皆有可能
实例：
叶——不同

		1       去0        2        加0        2        
      /   \			     /   \				 /   \		
     0	   2            1     3				1     3
             \							   /
               3						  0

非叶——相同

		2       去2        3      加2     	   2        
      /   \			     /  	(2替代3)	 /   \		
     1	   3            1     				1     3
             							
               						  

非叶——不同

		1       去2        1        加2        1        
      /   \			     /   \				 /   \		
     0	   2            0     3				0     3
             \							   		 /
               3						        2

huffman树

A的带权路径长度：根到A的路径长度(经过的边数)$\times$A权值
树的带权路径长度(WPL)：所有叶子带权路径长度之和
$$WPL=\sum _{i=1}^n{w}_i{l}_i$$定义：在含有n个叶结点的二叉树中，WPL最小的二叉树就叫huffman树。

构造：

1. 将n棵结点，分别作为只含一个结点的树，构成森林F。
2. 构造一个新结点，从F中选取根结点权值最小的两个树作为新结点的左右子树，新结点的权值为左右子树根结点权值之和，
3. 从F中删除刚刚选出的两个树，并将新树加入进去
4. 重复2，3直至只剩下一棵树，即huffman树。

每个初始结点最后都成为了叶结点
并且huffman树中只有度为0、2 的结点，没有度为1的结点。
$n_0=n_2+1$
所以 $n$个叶结点$⟶$ $2n-1$个结点