离散数学笔记_第一章：逻辑和证明（1）

1.1.1 命题

1.命题：是一个能判断真假的陈述语句 。

注：必须是陈述语句，感叹、疑问、祈使等都不行

2.命题变量（语句变量）：表示命题的变量。
（类似于用字母表示数值变量。）

3.真值：命题的值。
（真命题的真值为真，用T表示；假命题的真值为假，用F表示。）

4.原子命题：不能用简单的命题表示的命题。
（结构上不能再分解出其他命题的命题．又称简单命题。原子命题不能带有非，或，且，如果，那么等联结词。）

1.1.2 逻辑运算符

定义1： 否定联结词

p是命题，p的否定：┐p，读作：“非p”。

定义2： 合取联结词

令p和q为命题，p、q的合取 即“ p并且q ”，记作p∧q。
（逻辑乘）

全真才真，一假则假

定义3： 析取联结词

令p和q为命题，p、q的析取 即“ p或q ”，记作p∨q。
（逻辑加）

全假才假，一真则真

定义4： 异或联结词

令p和q为命题，p、q的异或：p、q中恰好只有一个为真时命题为真，否则为假。记作p⊕q。

相同为假，相异为真

1.1.3 条件语句

只要是语句，句末一定要加上句号"。"

定义5： 条件语句

令p和q为命题，条件语句p→q是命题 “若p，则q”
*条件语句也称为蕴含

前因后果之间不需要联系

前提真，结果真才为真，结果假则为假；
前提假，一定为真 。

注意 “p仅当q” 的意思就等同于 “如果p，那么q”

定义6： 双条件语句

令p和q为命题，双条件语句p↔q是命题 “p当且仅当q”
*双条件语句也称为双向蕴含

相同为真，相异为假
跟“异或联结词的作用“相反”p↔q ≡ ┐(p⊕q)

* 逆命题、逆否命题、反命题

逆否命题和原命题的真值相同

等价

等价：当两个复合命题总有相同的真值时，无论其命题变量的真值是什么，我们称它们是等价的。符号：≡或⇔

逆否命题和原命题的真值相同→逆否命题和原命题是等价的：p→q⇔┐q→┐p

1.1.4 复合命题的真值表

构建真值表的方法：
＞行：
对于原子命题，每个可能的值组合都需要一行。

＞列：
①需要一个复合命题列（复合命题的真值位于表的最后一列 ）
②复合命题中出现的每个表达式需要一个列来表示其真值
③这包括原子命题
④原子命题的否定命题（如果需要的话，不是所有原子命题的否定都要写出来）
⑤每个联结词联成的表达式（每个二元运算需要一个列）

举个栗子

复合命题(p∨┐q)→p∧q的真值表：

1.1.5 逻辑运算符的优先级

（当然，括号的优先级最大）

Q：异或（⊕）的优先级？
A： 1.1.3 定义6双条件语句最后提到过： p↔q ≡ ┐(p⊕q)，所以 p⊕q ≡ ┐(p↔q)。当遇到异或（⊕）的时候把它转换成┐(p↔q)的形式再根据优先级运算

1.1.6 逻辑运算和比特运算

比特

计算机用比特表示信息。比特是一个具有两个可能值（0和1）的符号。
注：一个0或一个1就是一个比特

因此比特可以表示真值（因为真值只有两个：True和False）。习惯上我们用1表示T（真），0表示F（假）

布尔变量

布尔变量：如果一个变量的值或为真或为假，则这个变量就叫做布尔变量

比特运算（位运算）

把真值表中的 T换成1，F换成0，就能得到位运算表

比特串

比特串：是0比特或者多比特的序列。比特串的长度就是它所含比特的个数（比特：见上文的)