《离散数学》笔记

第一章：命题与命题公式一、命题与命题联结词

一、命题与命题联结词

1、命题与命题的表示

（1）判断命题的两个条件

• 语句本身是个陈述句
• 它有唯一的真值（可理解为属性）
• （2）用符号来表示命题的过程称为命题的符号化
• （3）命题为真时，其真值用“T”或“1”来表示；为假时，其真值用“F”或“0”来表示。

2、复合命题与联结词

（1）否定：设 P 为命题，P 的否定是一个复合命题，记作¬P。若 P 为 T，¬P 为 F；若 P 为 F，¬P 为 T。命题¬P 读作“非 P”。

（2）合取：设 P、Q 为两个命题，P 和 Q 的合取是一个复合命题，记作 P∧Q。符号∧称为合取联结词。当且仅当 P、Q 同时为 T 时，P∧Q 为 T，其余情况 P∧Q 为 F。P 和 Q 的合取表示的是“P 并且 Q”的含义。（一假即假）

（3）析取：设 P、Q 为两个命题，P 和 Q 的析取是一个复合命题，记作 P∨Q。符号∨称为析取联结词。当且仅当 P、Q 同时为 F 时，P∨Q 的真值为 F，其余情况 P∨Q 的真值为 T。P 和 Q 的析取表示的是“P 或者 Q”的含义。（一真即真）

（4）条件：设 P、Q 为两个命题，P 和 Q 组成的条件命题是一个复合命题，记作 P→Q。符号→称为条件联结词。当且仅当 P 的真值为 T，Q 的真值为 F 时，P→Q 的真值为 F，其余情况P→Q的真值为 T。复合命题 P→Q 读作“如果 P 那么 Q”，亦可读为“若 P 则 Q”。（真假为假，其余都为真）

（5）双条件：设 P、Q 为两个命题，P 和 Q 组成的双条件命题是一个复合命题，记作 P↔Q。符号↔称为双条件联结词。当 P 与 Q 的真值相同时，P↔Q 的真值为 T，否则 P↔Q 的真值为 F。复合命题 P↔Q 读作“P 当且仅当 Q”。（ 真真假假为真，其余都为假）

二、命题公式的等值演算

1、命题演算的合式公式定义

（1）单个命题变元和命题常项是合式公式，并称为原子命题公式；

（2）若 A 是合式公式，则(¬A)是合式公式

（3）若 A、B 是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A↔B)是合式公式；

（4）有限次地应用（1）-（3）形成的符号串是合式公式。

（5）合式公式也称为命题公式或命题形式，简称为公式

2、联结词的优先次序为  ：¬，∧，∨，→，↔

3、设 A 为一命题公式，P1，P2，…，Pn为出现在 A 中的所有命题变元，对 P1，P2，…，Pn各指定一个真值称为对 A 的一种指派或赋值。若指定的一种指派使 A 的值为真，则称这组值为A 的成真指派；若指定的一种指派使 A 的值为假，则称这组值为 A 的成假指派。

4、常用的命题定律列在表

5、等值演算与蕴涵式

（1）基于真值表

（2）基于等值演算或等价交换

三、联结词完备集

1、设 S 是一个联结词集合，如果任何 n（n≥1）元真值函数都可以由仅含 S 中的联结词构成的公式表示，则称 S 是联结词完备集。我们把{¬，∨}及{¬，∧}称作命题公式的最小联结词完备集。

2、命题公式的联结词完备集可有以下几种：

（1）S1={¬, ∧, ∨, →, ↔}

（2）S2={¬, ∧, ∨, →}

（3）S3={¬, ∧}

（4）S4={¬, ∨}

（5）S5={¬, →}{↑}和{↓}都是联结词完备集。

第二章：命题逻辑的推理理论

一、范式

1、范式的概念

（1）一个简单析取式是重言式，当且仅当它同时含某个命题变元及它的否定式。一个简单合取式是矛盾式，当且仅当它同时含某个命题变元及它的否定式

（2）合取范式是由简单析取式的合取构成的；析取范式是由简单合取式的析取构成的

（3）一般来说，n 个命题变元 P1，P2，…，Pn，共有 2 的n次方个小项。

2、小项和大项

小项：（∧）∨（∧），理解：小项总只有一个T，其余都为F

（1）定义

   n 个命题变元的简单合取式，称作布尔合取或极小项，简称为小项。为了表示的更直观，我们以字母m 加上由编码构成的下标来表示每个小项，其中下标是一个 n 位的二进制数。为了简单起见，有时也用 n 位二进制对应的十进制数 i 来表示小项的编码。

（2）性质

• 每个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为T，其余为F（mi∧mj ⇔ F）
• 任意两个不同的小项的合取为永假
• 全体小项的的析取为永真（有2的n次方个小项）

大项：（∨）∧（∨），理解：小项总只有一个T，其余都为F

（1）定义

与小项情况类似，对每个大项也可以进行编码。以字母 M 加上由编码构成的下标来表示每个大项，其中下标是一个 n 位的二进制数。

（2）性质

•  每个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为F，其余为T
•  任意两个不同的小项的合取为永真（Mi∨Mj ⇔ T）
•  全体小项的的析取为永真（有2的n次方个大项）

(A∧B)∨(C∧D),理解为小项中只有一个T，其余都为F。编码：例：m001，m010（二进制）(A∨B)∧(C∨D),理解为小项中只有一个F，其余都为T。编码：例：M001，M010（二进制）

二、主范式

1、主析取范式（计算）

在公式的真值表中，所有真值为 T 的指派所对应的小项的析取，即构成该公式的主析取范式。

求主析取范式的两个方法

•  真值表法
•  等值演算法

步骤：

（1）采用求等值析取范式的步骤，求得与所给公式等值的简单合取式的析取式。

（2）若某简单合取式中没有包含所有的变元，则需要根据排中律 Pi∨¬Pi⇔T、同一律 A∧T⇔A和分配律进行变换。例如，某简单合取式 Ai中缺少变元 Pi，则通过如下的变换：Ai∧(Pi∨¬Pi) ⇔ (Ai∧Pi)∨(Ai∧¬Pi)，可使简单合取式 Ai中增加 Pi或¬Pi。

（3）去掉重复出现的小项。

2、主合取范式（计算）

在公式的真值表中，所有真值为 F 的指派所对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式

求合取范式方法同上

三、自然推理系统（证明）

1、常用的推理规则有

• P规则：引入前提
• T规则：

2、推理法

• 直接推理法
• 间接推理法
• 归谬法（反证法）：结果拿来用
•  CP规则：A→B：A拿来用

第三章：谓词逻辑

一、谓词的概念与表示

谓词用来指明个体的性质或个体之间的关系等，常用大写的英文字母 P，Q，R，…来表示。由一个谓词、一些个体变量组成的表达式称为谓词变项或命题函数。

二、量词与合式公式

1、P(x)的全称量化是命题“P(x)对 x 在其论域的所有值为真”。符号∀xP(x)表示 P(x)的全称量化，其中∀称为全称量词。

2、P(x)的存在量化是命题“论域中存在一个元素 x 使 P(x)为真”。符号∃xP(x)表示 P(x)的存在量化，其中∃称为存在量词。

3、给定谓词合式公式 A，其中一部分公式形式为∀xB(x)或∃xB(x)，称量词∀、∃后面的 x 为指导变元也称为作用变元。称 B(x)为相应量词的辖域（或作用域）。在辖域中，x 的一切出现称为约束出现。在 B(x)中除去约束出现的其他变元的出现称为自由出现。

三、变元的改名和代入

1、约束变元改名规则

  将量词辖域中，量词的指导变元及其辖域中该变元的所有约束出现均改为本辖域中未曾出现过的个体变元，其余不变

2、自由变元代入规则

 把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要替换该自由变元在公式中的所有出现。

四、谓词演算的等价式和蕴涵式

1、设论域元素为 a1，a2，…，an，则下列关系式成立：

∀xA(x) ⇔A(a1) ∧ A(a2) ∧ … ∧ A(an)∃xA(x) ⇔A(a1) ∨ A(a2) ∨ … ∨ A(an)

2、给定任何两个谓词公式 WffA 和 WffB，设它们有共同的论域 E，若对 A 和 B 的任一组个体变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称谓词公式 A 和 B 在 E 上是等价的，并记作 A⇔B

3、给定任意谓词公式 WffA，其论域为 E，对于 A 的所有赋值 WffA 都为真，则称 WffA 在 E上是有效的（或永真的）。如果在所有赋值下 WffA 都为假，则称 WffA 为不可满足的。如果至少在一种赋值下为真，则称该 WffA 为可满足的。

4、用谓词演算中的公式，代替命题演算公式中的变元，所得的公式即为等价式或蕴涵式

5、谓词等值式与蕴涵式

 五、、前束范式：

一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域，延伸到整个公式的末尾，则该公式称为前束范式

1、将谓词公式变换为前束范式的步骤

（1）对不同辖域的同名变元进行换名（换名规则）

（2）利用量词与否定联结词的关系，将否定联结词¬深入到命题变元和谓词公式前面（量词转化规则）

（3）利用等值式∀x(A∨B(x)) ⇔ A∨∀xB(x)和∃x(A∧B(x)) ⇔ A∧∃xB(x)，将量词移到全式最前面（量词前提规则）

2、谓词演算的推理理论

   消去和添加量词的规则：

（1）全称量词消去规则（简记为 ∀-）

 P 是谓词，而 c 是论域中的任意一个个体，如果论域中全部个体都有 P(x)，那么对某个具体的个体 c 亦有 P(x)，即可得到结论 P(c)。这条规则可表示为：

 （2）全称量词引入规则（简记为 ∀+）

 如果能够证明对论域中任一个体 c 谓词 P(c)都成立，则可得到∀xP(x)为真。这称为全称量词引入规则。注意，这里的个体 c 必须是论域中的任意一个元素，而不能是某个特定的元素。这条规则可表示为：

（3）存在量词消去规则（简记为 ∃-）

 如果已知∃xP(x)成立，则在论域中存在一个个体 c 使得 P(x)为真。这里只知存在个体 c，但不能选择任意的 c，通常并不知道 c 的具体值。这条规则可表示为

（4）存在量词引入规则（简记为 ∃+）

  如果已知论域中某个个体 c 使得 P(c)为真，则可得出∃xP(x)为真。这条规则可表示为

第四章：集合

一、集合的基本概念

1、集合的基本概念

（1）、若元素 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于 A，记为 a∈A，否则称 a 不属于 A，记为 a∉A。 

（2）、集合 A 中的元素个数称为集合的基数或势，表示为 A 。有限集的基数为自然数。如果一个 无限集合可以跟自然数集合形成一一对应，则称其为可数无限集，反之称为不可数集合。

（3）、不包含任何元素的集合称为空集，记为∅或 。空集的基数为 0，即 ∅ =0。

2、集合的表示法

（1）、列举法：

将集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起全部元素，元素之间以逗号作分隔。

（2）描述法

 （3）图示法

（4）、设 A、B 是任意两个集合，若 A 的每一个元素都属于 B，则称 A 为 B 的子集，也称“B 包 含 A”或“A 包含在 B 内”。记作 A⊆B 或 B⊇A。P68（单选、填空）

（5）、如果集合 A 的每一个元素都属于 B，但集合 B 中至少有一个元素不属于 A，则称 A 为 B 的真子集，记作 A⊂B 或 B⊃A。P69（单选、填空）

 二、集合的运算

1、集合的基本运算

集合的交、并、差、补、对称差（单选、填空、计算）

（1）、集合的交

（2）、集合的并

（3）、集合的差

（4）、集合的补

 2、集合运算的恒等式

（1）、集合运算的恒等式（见下表）

 (2)、集合的对称差

（3）对称差的性质

三、有序对与笛卡尔积

1、有序对

2、笛卡尔积：

 第五章：关系与函数

一、关系及关系的性质

1、关系的定义及表示

 2、关系的性质

二、关系的运算

2、复合关系

3、关系的闭包

三、等价关系与序关系

1、等价关系

2、序关系

四 、函数

1、函数的概念

2、复合函数

第六章：代数系统的一般概念

一、代数系统

1、封闭概念：

设 A 为任意集合，一个从 An到 B 的映射，称为集合 A 上的一个 n 元运算。如果 B⊆A，则 称该 n 元运算是封闭的。

2、运算的性质。P109（单选、计算、证明）

设 A 为任意非空集合，*和∘是集合 A 上的二元运算，

（1）封闭性：对∀a，b∈A，若有 a*b∈A，则称运算*关于集合 A 是封闭的。

（2）结合律：对∀a，b，c∈A，若有(a*b)*c=a*(b*c)，则称运算*在 A 上是可结合的，或称运 算*在集合 A 上满足结合律。

（3）交换律：对∀a，b∈A，若有 a*b=b*a，则称运算*在 A 上是可交换的，或称运算*在集合 A 上满足交换律。

（4）幂等律：若对∀a∈A，有 a*a=a，则称运算*在 A 上是幂等的，或称运算*在集合 A 上满 足幂等律。

（5）分配律：若对∀a，b，c∈A 有 a∘(b*c) = (a∘b) * (a∘c) (b*c)∘a = (b∘a) * (c∘a) 成立，则称运算∘对运算*是可分配的，或称运算∘对运算*满足分配律。

（6）吸收律：若∘和*均满足交换律，且对于∀a，b∈A 都有 a∘(a*b) = a a*(a∘b) = a 则称运算∘和运算*是可吸收的，或称运算∘和运算*满足吸收律。

3、幺元：

设*为集合 A 上的二元运算，若存在 eL∈A，使得对于∀x∈A，都有 eL*x = x，则称 eL是 A 中关于*运算的左幺元。类似地，若存在 er∈A，使得对于∀x∈A，都有 x*er = x，则称 er是 A 中关于*运算的右幺元。如果存在 e∈A，它既是左幺元，又是右幺元，则称 e 是 A 中关于运算 *的幺元。幺元也称为单位元。

显然，对∀x∈A，都有 eL*x=x*er= x

4、零元：

设*是定义在集合 A 上的二元运算，如果有一个元素Ol∈A，对于任意元素x∈A都有Ol*x=Ol，则称Ol为A中关于运算*的左零元；如果有一个元素Or∈A,对于任意元素x∈A都有Ol*x=Or，则称Or为A中关于*的右零元。如果存在O∈A，它既是左零元又是右零元，则称O为A上关于运算*的零元。

显然，对于∀x∈A，有O*x=O*x=O。

5、逆元：

设代数系统中，e 是关于运算*的幺元。若对 A 中某个元素 a，存在 A 的一个元素 b， 使得 b*a=e，则称 b 为 a 的左逆元；若 a*b=e，则称 b 为 a 的右逆元。若一个元素 b，既是 a 的左逆元，又是 a 的右逆元，则称 b 为 a 的一个逆元，记作 a -1。P111（单选、填空、计算）

二、群与半群

1、半群、独异点和群

半群	独异点	群
设 V=是代数系统，*是集合 S 上的二元运算，若运算*是封闭且是可结合的，则称 V 为半群。	若半群 V=中存在一个幺元，则称为独异点（或含幺元半群）。	设 V=是一个独异点，其中 G 是非空集合，*是 G 上一个二元运算，对于∀x∈G 都有逆 元 x -1存在，则称 V=是一个群

2、群的性质：

（1）阶数：

设是一个群，如果 G 是有限集，则称为有限群，G 中元素的个数称为该有 限群的阶数，记为|G|。特别地，若群 G 中只含有一个元素，即 G={e}，|G|=1，则称 G 为平凡 群。P115（计算、证明）

（2）交换群：

设是一个群，若运算*在 G 上满足交换律，则称 G 为交换群或 Abel 群。P116（计 算、证明）

（3）阶元：

设是群，e 是幺元。对于 a∈G，使得 a k=e 成立的最小正整数 k 称为 a 的阶，记作|a|， a 称为 k 阶元。若不存在这样的正整数 k，则 a 称为无限阶元。P116（单选、填空）

（4）循环群：

设为群，若在 G 中存在一个元素 a，使得 G 中的任意元素都由 a 的幂组成，则称该 群为循环群，元素 a 称为循环群 G 的生成元。 若 a 为生成元，G=(a)表示由 a 生成的循环群。G={a 0=e，a 1，a 2，…，a n-1}是 n 阶有限循 环群，G={…，a -1，a 0=e，a 1，a 2，…}为无限循环群。P117（计算、证明）

（5）公式：

设为群，∀a，b∈G，∀n，m∈Z，有：

 （6）消去律：

设是群，则 G 满足消去律，即对∀a，b∈G 有：P117（单选、证明）

①若 a*b = a*c，则 b = c

②若 b*a = c*a，则 b = c

（7）子群：

三、环与域

1、环：

设是一个代数系统，+和*是二元运算，如果满足

（1）是 Abel 群；

（2）是半群；

（3）运算*对于运算+是可分配的。

  则称是一个环。P119（单选、填空、证明）

2、设是一个环，则对∀a，b，c∈A，有：P121（单选、填空、证明）

（1）a * 0 = 0 * a = 0

（2）a *(-b) = (-a) * b = -( a * b)

（3）(-a) * (-b) = a * b

（4）a *(b - c) = a * b - a * c

（5）(b-c)* a = b * a - c * a

3、设是环，P121（单选、填空、计算）

（1）如果环中乘法*满足交换律，则称是可交换环。

（2）如果环中乘法*存在幺元，即对∀a∈A，均有 1*a=a*1=a，则称为含幺元的环。 1 称为环的幺元

（3）对于∀a，b∈A，若 a*b=0，必有 a=0 或 b=0，则称是一个无零因子环。

（4）若既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称为整环。

4、域：

设是一个整环，且|R|≥2，若对∀a∈R*=R-{0}，都有 a -1∈R，则称 是域。P122（单选、填空）

第七章：格与布尔代数

一、格的基本概念

1、格：

设是一个偏序集，对∀a，b∈A，子集{a, b}在 A 中都有最大下界（也称为下确界，记 为 inf{a, b}）和最小上界（也称为上确界，记为 sup{a, b}），则称为格。P125（单选、 填空、计算）

2、最大上界和最小下界：

设是一个格，如果在 A 上定义两个二元运算∧和∨，使得对∀a，b∈A，a∧b 等于 a 和 b 的最大下界，a∨b 等于 a 和 b 的最小上界。称为由格所诱导的代数系统。二元运算∧和∨分别称为交运算和并运算、P125（单选、填空）

3、对偶：

设是格，P 是由格中元素及≼，=，⋟，∧和∨等符号所表示的命题，如果将 P 中的≼， ⋟，∧和∨分别替换成⋟，≼，∨和∧，得到的命题 P’称为 P 的对偶命题，简称对偶。P125（单 选、填空）

二、分配格与有补格

1、分配格：

（1）分配格的定义：

设是格，若对∀a，b，c∈A，满足

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)

a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)，

则称 是是分配格。P129（单选、填空、证明）

（2）、同态：

设和是两个格，由它们分别诱导的代数系统为〈A1,∧1 ,∨1〉和〈A2,∧2 ,∨2〉，如 果存在着一个A1到A2的映射 f，从使得对∀a，b∈A1有

f(a∨1b) = f(a)∨2f(b)

f(a∧1b) = f(a)∧2f(b)称

f 为从〈A1,∧1 ,∨1〉到〈A2,∧2 ,∨2〉的格同态。当f是双射时，格同态也称为格同构。p129（单选）

（3）、分配格的判定。P130（单选）

①格 L 是分配格，当且仅当 L 中不含有与钻石格或五角格同构的子格。

②1小于五元的格都是分配格。

③任意一条链都是分配格

2、有补格：

（1）全上界和全下界：

设〈A，≼〉是一个格，如果存在元素 a∈A，对于∀x∈A，都有 a≼x，则称 a 为格〈A，≼〉的全下 界。如果存在元素 b∈A，对于∀x∈A，都有x≼b，则称 b 为格〈A，≼〉的全上界。

格〈A，≼〉的全下界就是偏序集的最小元，全上界就是偏序集的最大元。可以证明，格 A 若 存在全下界或全上界，一定是唯一的。一般地，全下界记为 0，全上界记为 1。P130（单选、填空、计算）

（2）补元：

设〈A，∧,∨，0,1〉是有界格，a∈A，若存在 b∈A，使得 a∨b=1，且 a∧b=0，称 b 是 a 的补 元。P131（单选、填空）

（3）补格：

设〈A，∧,∨，0,1〉是一个有界格，若对于∀a∈A，在 A 中都有 a 的补元存在，则 A 称为有补 格。P131（单选、填空）

三、布尔代数

1、布尔格（布尔代数）：

如果一个格是有补分配格，则称它为布尔格或布尔代数。P131（单选、填空）

2、布尔格的判定：

设有代数系统〈A，∧,∨，‘，0,1〉，其中 B 至少包含两个元素，∧和∨为 B 上的两个二元运算， '为 B 上一元运算，对∀a，b，c∈B 满足

（H1）a∧b=b∧a，a∨b=b∨a（交换律）。

（H2）a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)（分配律）。

（H3）在 B 中存在零元 0，使 a∨0=a，a∧0=0；存在单位元 1，使 a∧1=a，a∨1=1（同一 律）。

（H4）a'∈B ，使得 a∧a'=0，a∨a'=1（补元律）

则〈A，∧,∨，‘，0,1〉是布尔格。

3、布尔代数的单位元和零元

在布尔代数〈A，∧,∨，‘，0,1〉中1 是运算∧的单位元，0 是运算∨的单位元。可以证明，1 是运算∨的零元，0 是运算∧的零元。P132（单选、填空）

第八章：图

一、图的基本概念

1、

有向图	无向边	简单图
图中的边均为有向边	图中仅含有无向边	不 含多重边及环

2、设无向图 G=〈V，E〉顶点 v（v∈V）关联的边数称作该顶点的度数，简称为度，记为 deg(v)

3、对图 G 中的顶点 v，若 deg(v)=0，则 v 称为孤立点；若 deg(v)=1，则 v 称为悬挂点；若 v 有环，则计算度时使 deg(v)增加 2；若 deg(v)为奇数，称 v 为奇顶点或奇点；若 deg(v)为偶数， 称 v 为偶顶点或偶点。P136（单选、填空）

4、图G=〈V，E〉，顶点度数总和等于边数的两倍，即

 5、设G=〈V，E〉是一个有向图，以顶点 v 为起点的有向边的个数称为 v 的出度，记为 deg + (v)； 以顶点 v 为终点的有向边的个数称为 v 的入度，记为 deg -(v)。顶点的出度与入度之和就是该顶 点的度数，即：

 6、设含 n 个顶点的简单无向图G=〈V，E〉中，若每个顶点都与其余的 n-1 个顶点邻接，则称 G 为 n 阶（无向）完全图，记：

 

二、图的联通性

 三、图的表示

第九章：图的应用

一、欧拉图与哈密顿图

1、欧拉图：

（1）、在连通图 G 中，经过 G 中每条边一次且仅一次的通路，称为欧拉通路或欧拉路；若欧拉通 路为回路，则称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，含有欧拉通路但没有欧拉回路的 图称为半欧拉图。P147（单选、填空）

（2）、无向连通图 G 是欧拉图的充分必要条件是G 是连通的且无奇点。

（3）、无向图 G 具有一条欧拉通路的充分必要条件是 G 是连通的且恰有两个奇点。P148（单选、 填空）

2、哈密顿图：

（1）给定无向图 G，若存在一条路 L，经过图中每个顶点一次且仅一次，则 L 称为哈密顿路， 简称为 H-路；若存在一条回路 C，经过图中的每个顶点一次且仅一次，C 称作哈密顿回路， 简称为 H-回路。具有哈密顿回路的图称作哈密顿图，简称为 H-图。P149（单选、填空）

（2）设 G 是具有 n 个顶点的简单图，如果 G 中每一对顶点度数之和大于等于 n-1，则在 G 中存 在一条哈密顿路。P151（单选、填空）

（3）、设 G 是具有 n 个顶点的简单图，如果 G 中每一对顶点度数之和大于等于 n，则在 G 中存在 一条哈密顿回路。P151（单选、填空）

二、平面图

1、无限面、有限面、边界和次数

设 G 是一个连通平面图，G 的边将 G 所在的平面划分成若干个区域，每个区域称为 G 的 一个面，其中面积无限的区域称为无限面或外部面。面积有限的区域称为有限面或内部面。包围每个面的所有边组成的回路称为该面的边界，边界的长度称为该面的次数。若区域记为 R， 则次数可记为 deg(R)。P152（单选、填空）

2、连通平面图的性质。P152（单选、计算）

（1）设连通半面图 G，面的次数之和等于其边数的两倍。

（2）设有一个连通平面图 G，共有 n 个顶点和 m 条边，其平面表示中共有 r 个面，则 n-m+r=2 成立。此公式称为欧拉公式。

（3）设 G 是一个有 v 个顶点 m 条边的连通简单平面图，若 v≥3，则 m≤3v-6。

三、树及其遍历

1、树的基本概念：

给定图 T，有 n 个结点，则下列命题是等价的：

（1）T 是树。

（2）T 无回路，且 T 的任何两个顶点间有唯一一条路。

（3）T 无回路，且有 n-1 条边。

（4）T 是连通的，且有 n-1 条边。

（5）T 是连通的，但删去任何一条边后便不再连通。

（6）T 无回路，但增加任何条边，将得到唯一的一个回路。 P154（单选、填空、计算）

2、最小生成树：

设无向连通带权图G=〈V，E，W〉，T 是 G 的一棵生成树，T 的各边权值之和称为 T 的权， 记作 W(T)。G 的所有生成树中权值最小的生成树称为最小生成树。P156（单选、填空）

求最小生成树的算法。P156（计算、综合应用） 设图 G=是无向连通带权图，它有 m 条边 e1，e2，…，em，各边上的权依次为： a1，a2，…，am，不妨设 a1≤a2≤…

（1）初始准备：将图中的所有顶点加入到生成树 T 中，但不包含任何的边。此时 T 中仅含有 顶点，这些顶点分别自成一个连通分量，连通分量的个数为 m=|V|；

（2）依次检查各边 e1，e2，…，em，对当前的边 ei，如果 ei所依附的两个顶点分别位于生成 树的两个连通分量上，则将 ei加入到生成树 T 中，并令 ei所依附的两个顶点所在的两个连通 分量合并成一个，生成树中连通分量的个数减 1；如果 ei依附的两个顶点已经位于同一个连通 分量上，则舍弃 ei，再看下一条边 ei+1。当生成树 T 中含有|V|-1 条边时，过程结束。此时，原 来的|V|个连通分量最终合并成一个。

4、树的结点具有“层次”性。设某结点 v 位于 i 层，则 v 的子结点位于 i+1 层。约定根位于 0 层。树中结点的最大层数定义为树的深度，最大层数加 1 为树的高度。P158（单选、填空）

5、在有根树中，若每一个结点的出度小于等于 m，则称这棵树为 m 叉树。如果每一个结点的 出度恰好等于 m 或零，则称这棵树为完全 m 叉树。若完全 m 叉树的所有叶结点的层次相同， 则称其为正则 m 叉树。P159（单选、填空）

6、二叉树的基本概念

（1）、二叉树是指有序树中任何结点的子结点的个数不多于 2 个，即结点的出度或为 0 或为 1 或 为 2。位于左侧的子结点称为左子结点，位于右侧的子结点称为右子结点。以左子结点为根的 子树称为左子树，以右子结点为根的子树称为右子树。二叉树的 5 种基本形态如下图所示。P159 （单选、填空）

 

（2）、设有完全 m 叉树 T，其叶结点数为 t，分支结点数为 i，则(m-1)i =t-1。P159

——最后：知识点写到这里就结束了，有些概念可能比较抽象，后续会补上图，有助于理解。再后面会总结一下练习的题型知识点。祝愿每个自考的同学都能成功，加油。