1
三角函数有界性在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性,这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外,在解三角形问题中,两大利器就是正弦定理和余弦定理,它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”,将多元问题降元,转变成一元问题,再结合三角函数的有界性即可求解出最值。
1利用y=Asin(wx+Ψ)求解
例题1:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a=√3,A=π/3,试求b+c的最大值。2换元为二次函数求解
例题:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=btanA,且B为钝角。 (1)证明:B-A=π/2 (2)求sinA+sinC的取值范围3利用函数单调性求解
例题:在锐角△ABC中,若b=2,B=2A,则试求c的取值范围。2
二次函数性质将求解的最值问题转换成二次函数的最值问题,这样题目就迎刃而解。
例题: 已知△ABC中,c=2,b=√3a,则试求△ABC面积的最大值。3
基本不等式及推论
利用正弦定理或余弦定理,转化为二元问题,再利用基本不等式及其推论求解最值。 例题1: 在△ABC中,A,B,C的对边 分别是a,b,c,已知cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0。 (1)求B的大小 (2)若a+c=1,求b的取值范围 例题2:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a+b=2c,求cosC的最小值。变式1:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=bcosC+csinB
(1)求B的值;
(2)若b=2时,求△ABC面积的最大值。
变式2:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根。
(1)求C的大小;
(2)当a+b=10时,求△ABC周长的最小值。
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阿波罗尼斯圆
基本概念:
一般地,平面内到两定点A,B距离之比为常数λ(λ≠1)的点P的轨迹为圆,此圆称为阿波罗尼斯圆。
阿波罗尼斯圆的证明: 平面内有一动点P,又A,B为两个定点,且有PA=λPB,试求点P的轨迹方程。例题:在△ABC中,AB=2,AC=√2BC,求△ABC面积最大值。
变式: 在△ABC中,AB=AC,点D是AC的中点,且BD=2,试求△ABC面积的最大值。 【来源】高中数学王晖。【推荐阅读】
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