已知空间中的三点 求三角形面积_高中数学：解三角形最值问题的四大模型

1

三角函数有界性

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦定理，它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”，将多元问题降元，转变成一元问题，再结合三角函数的有界性即可求解出最值。

1利用y=Asin(wx+Ψ)求解

例题1：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a=√3，A=π/3，试求b+c的最大值。

例题2：已知△ABC为等腰直角三角形，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，具体如下图所示，求平面四边形ABDC面积的最大值。

变式1：在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bcosC+√3bsinC-a-c=0 (1)求B； (2)若b=√3，求2a+c的取值范围 变式2：在△ABC中，a²+c²=b²+√2ac， (1)求B的大小； (2)求√2cosA+cosC的最大值。

2换元为二次函数求解

例题：在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=btanA，且B为钝角。 (1)证明：B-A=π/2 (2)求sinA+sinC的取值范围

3利用函数单调性求解

例题：在锐角△ABC中，若b=2，B=2A，则试求c的取值范围。

2

二次函数性质

将求解的最值问题转换成二次函数的最值问题，这样题目就迎刃而解。

例题： 已知△ABC中，c=2，b=√3a，则试求△ABC面积的最大值。

3

基本不等式及推论

利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。 例题1： 在△ABC中，A，B，C的对边 分别是a，b，c，已知cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0。 (1)求B的大小 (2)若a+c=1，求b的取值范围

例题2：在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a+b=2c，求cosC的最小值。

变式1：在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=bcosC+csinB

(1)求B的值；

(2)若b=2时，求△ABC面积的最大值。

变式2：在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根。

(1)求C的大小；

(2)当a+b=10时，求△ABC周长的最小值。

4

阿波罗尼斯圆

基本概念：

一般地，平面内到两定点A,B距离之比为常数λ(λ≠1)的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆。

阿波罗尼斯圆的证明： 平面内有一动点P，又A，B为两个定点，且有PA=λPB，试求点P的轨迹方程。

例题：在△ABC中，AB=2，AC=√2BC，求△ABC面积最大值。

变式： 在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，且BD=2，试求△ABC面积的最大值。 【来源】高中数学王晖。

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