实变函数与高等概率论--如何理解生成的σ代数

如何理解生成的σ代数？

现代概率论是基于σ代数讨论的, 因为它本身具有概率测度也就是P(x)所必须的性质, 但在面对一个集合时, 其本身并不一定是一个σ代数, 所以需要用一种比较方便的概念来确保σ代数这一基本条件.

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先考虑一下泛函分析中的闭包概念, 比如有理数可以近似无理数, 但在有理数里面没有无理数, 也就是说有理数域中的点列可以逼近一个不在自己里面的结果, 再比如[0,1)中的实数可以通过点列{1-1/n}来逼近到1, 而显然{1-1/n}完全属于[0,1), 而逼近的结果1∉[0,1), 从而我们希望极限的结果也在这个领域里面(希望各种运算封闭是很自然的事情), 最简单的方法就是在原来的基础之上把极限运算的结果全部放进去, 那么得到的新的整体自然关于极限运算封闭, 也就是得到一个闭集.

(闭包). eg.有理数Q的闭包=Q本身+Q中所有点列能收敛到的极限的结果=有理数+无理数=实数R

在高等概率论中, 我们希望集合运算的结果也类似泛函中的闭集一样, 集合的"各种运算"不能跑到运算本身的领域的外面(也就是运算结果不能不属于自身), 所以要对自身领域进行扩充, 扩充的方式也是一样, 在原来自身的基础之上+从自身出发进行"各种运算"所得到的结果=我们需要的运算不会跑出去的新的整体. 而这里的"各种运算"不只是简单的单调集合的极限运算, 还有别的如下图:

而这8条规则所服务的就是σ代数, 这时候回过头来考虑σ代数的定义就很清楚了:

那么下面就是最后一个问题–生成σ代数, 也就是σ(X), 其本身的定义是所有包含X的σ代数的最小的那一个(也就是所有), 这个定义:
包含X: 是因为这里的X就是我们所说的"从自身出发进行各种运算"中的"自身", 所以当然要包括原来的自己, 而且这样一来, σ(X)意味着X本身可能不符合σ代数的要求, 但可以通过σ(X)来使得其成为满足条件的σ代数, 那么我在考虑X的时候就不需要想着一会要用的时候X自己不满足σ代数的要求怎么办, 只要把X交给σ(X)加工一下就好了

σ代数: 是从一开始我们就默认的很好的性质, 不是σ代数就把她变成σ代数(也就是通过σ(X)来实现)

最小: 这个要求是理所当然的, 类似泛函中闭包的概念, 如果我们把定义改成"X的闭包是一个包含X和X的极限运算结果的新集合"那么此时 [0,1]上的有理数的闭包完全可以不再是[0,1]上的实数, 而可以是[0,2]上的实数, [0,3]上的实数…因为[0,a]a>1上的实数都包含了[0,1]上的有理数以及[0,1]上的有理数的极限运算的结果, 所以我们需要的是"最小的", 回到集合运算也是如此, 我们只希望σ(X)是X加上自身各种运算(上述8条)的结果而没有别的东西了, 所以我们取所有这些可能包含X自身和别的结果的σ代数的全部的交集, 得到的自然是最小的σ代数(但至少她们都包含了X), 也就是包含X的最小σ代数–σ(X)