2021-07-03-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题10）
若、是任意正实数,求的值.
解
不妨设,令,则,.所以
(i)若,则所以,从而当且仅当时,;
(2)若,则.所以,从而当且仅当时,;
(3)若,则,,此时若,则;若,则,所以当且仅当时,.
2021-07-03-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题11）
设正整数具有如下性质:在从中任取的个数中,总有个数组成一个等差数列.求证:.
证明
首先从中删除的所有倍数,共个.
将余下的个数分成个集合:,,
.
由于为素数,故当时,公差为的等差数列中的个数模互不同余,其中必有的倍数.由于这样的数已被删除,故在剩下的数中不存在与互素的公差的项等差数列.
下面再考察以的倍数即以或为公差的项等差数列的情形.
删去集合、中的所有数,共删去个数.由于公差为的等差数列的项必分别属于中相继的个集合,公差为的等差数列的项则分别属于中相间的个集合,故两者均必有某项属于或.从而在删除、的所有数之后,即不存在任何项的等差数列.
易见,两次共删除了,所以余下的数多于.这就证明了只有,才可能具备题中所述的性质.
2021-07-03-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题12）
某国学生参加城市联赛,试卷由题组成,每题恰有个人做出来,若找不到两个人,使任何一题至少被两个人中的一个答出,试求参加比赛的人数的最小值.
解
(1)首先证明个人参加比赛是可以的,定义三元数组表示答对第题.考虑个三元数组满足:
(i)任两个数恰出现次;
(ii)每个数恰出现次将每个三元数组对应于个人的答题情况,则可知满足题目所有条件恰有人.
(2)证明不能少于人.设答对题最多的人为,设答对题.
(i),则全部答对,与条件矛盾!
(ii),不妨设答对,则由题知存在答对第题,则与答对所有题,矛盾!
(iii),不妨设答对,则不存在既答对,又答对,又因为答对的共人,再加上,至少有人!
(iv),则每人至多答对题,而每题有人答对,所以至少有(人).
所以人为所求最小值.
2021-07-03-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题13）
将一些相同的正边形餐巾纸放在桌子上,允许任两张餐巾纸有可能有部分重叠.设任两张餐巾纸可经过平移将一张移到和另一张重叠.当时,是否总可以在桌上钉一些钉子,使得每张餐巾纸恰好被钉了一次?
解
回答是可以做到的.
由,餐巾纸为正六边形,边按逆时针方向定向.由于任两张餐巾纸可经过平移而重叠.所以任两餐巾纸的六条边按相同定向互相平行因此可以在平面上作出大小和餐巾纸一样的正六边形网格,网格中每个正六边形和任一餐巾纸的六条边按相同定向互相平行.所有餐巾纸的中心可构成两个集合,一个集合由这样的中心构成,这些中心都在网络线上,另一个集合由不在网格线上的中心构成前者记作,后者记作.
(i)设,即所有餐巾纸的中心都不落在网格线上.我们在网格的每个正六边形的中心上钉钉子.这些钉子要么不钉在任一餐巾纸上,要么只钉上一次.因为若有一张餐巾纸上被钉了两个钉子,那么餐巾纸的中心落在网格的两个不同的正六边形内,这是不可能的.
(ii)设.由于餐巾纸只有有限张,所以为有限集.因此记,为的中心和网格线的最近距离.我们将网格平移小于的距离.于是,中的点仍不在网格线上.由于也为有限集,所以我们可以选取这种平移的方向,使得中的点也都不在新的网格线上.于是对新的网格线,化为情形(i).这证明了命题成立.