数据结构：时间复杂度和空间复杂度求解思路方法详解

（一）时间复杂度和空间复杂度的作用？

答：度量算法的效率

1. 时间复杂度：用来衡量执行算法所花费的时间；
2. 空间复杂度：用来衡量执行算法所占用的空间；

（二）时间复杂度和空间复杂度如何计算？

（1）时间复杂度

频度：一个语句的频度是指该语句在算法中被执行的次数。

时间复杂度，即分析算法中所有语句的频度之和T(n)的数量级。
因为算法中最深层循环内的语句的频度与T(n)同量级，因此通常采用算法中最深层循环内语句的频度f(n)来分析算法的时间复杂度。将其记作：$T(n)=O(f(n))$

注意： 在实际计算中，一般取f(n)中随n增长最快的项，将其系数置为1作为时间复杂度的度量。
例如：f(n)=an³+bn²+cn 的时间复杂度为 O(n³)；f(n)=5 的时间复杂度为O(1)

具体案例分析

1. 类型一：

void func(n){
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++){
		for(j=i;j<n;j++){
			printf("每天进步一点点");
		}
	}
}

分析：
① 找最深层循环内的语句的频度，即printf("每天进步一点点");的执行次数；

• 当 i=0 时—— j 对应深层循环执行 n 次
• 当 i=1 时—— j 对应深层循环执行 n-1 次
• …
• 当 i=n-1 时—— j 对应深层循环执行 1 次
• 则最深层循环语句执行次数为：$\frac{n(n+1)}{2}$

② 取f(n)中随n增长最快的项，将其系数置1，即该函数的时间复杂度为 O(n²) 。

2. 类型二：

void func(n){
	int i;
	for(i=1;i<n;i*=2){
		printf("每天进步一点点");
	}
}

分析：
① 找最深层循环内的语句的频度，即printf("每天进步一点点");的执行次数；

• 当循环内语句执行次数为 1 时—— i=1
• 当循环内语句执行次数为 2 时—— i=2
• 当循环内语句执行次数为 3 时—— i=2²
• …
• 当循环内语句执行次数为 k 时—— i=$2^{k-1}$
• 则如果当 i=$2^k$ 时不满足条件 i$2^k=n$ ，则执行次数 k=$lo{g}_{2}n$

② 取f(n)中随n增长最快的项，将其系数置1，即该函数的时间复杂度为 O($lo{g}_{2}n$) 。

时间复杂度的比较

O(1)常数阶 < O(logn)对数阶 < O(n)线性阶 < O(n²)平方阶 < O(n³)(立方阶) < O($2^n$) (指数阶)

（2）空间复杂度

一个程序在执行时所需空间包括：存储本身所用的指令、常数、变量和输入数据的空间，以及对数据进行操作处理所申请使用的辅助空间等。

空间复杂度，使用S(n)来定义算法所耗费的存储空间，记作 $S(n)=O(g(n))$

两种常见空间复杂度

1. 如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)。例如：

void func(n){
 int i=1;
 int j=2;
 int k=i+j;//算法空间与n无关
}

2. 如果随着输入值 n 的增大，程序申请的临时空间也随之变化，则程序的空间复杂度需要具体分析，例如：

void func(n){
	int a[n];//所申请的空间随着n的取值而进行线性变化，空间复杂度为O(n)
}