[入门必看]数据结构3.3：栈和队列的应用

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第三章 栈、队列和数组

小题考频：23
大题考频：4

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3.3 栈和队列的应用

难度：☆☆☆

知识总览

3.3.1_栈在括号匹配中的应用

3.3.2_1_栈在表达式求值中的应用(上)

3.3.2_2_栈在表达式求值中的应用(下)

3.3.3_栈在递归中的应用

3.3.4+3.3.5_队列的应用

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3.3.1_栈在括号匹配中的应用

• 括号都是成双成对出现的；
  左括号和右括号在数量上必须匹配，形状上也必须匹配。

• 最后出现的左括号最先被匹配（LIFO）
  ——后进先出

将这些左括号依次压入栈中，最后入栈的左括号最先被弹出（匹配）

每当出现一个右括号，就“消耗”一个左括号

• 当我们遇到左括号时，就把它压入栈中，当我们遇到右括号时，就把栈顶的那个左括号给弹出，检查是否匹配。

Eg1.

所有的左右括号都能匹配，匹配成功

Eg2.

扫描的右括号与栈顶的左括号不匹配，匹配失败

Eg3.

扫描到右括号但是栈已经空了——右括号单身，匹配失败

处理完所有括号但是栈非空——右括号单身，匹配失败

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算法实现

处理流程：

代码实现：

传入：
一个字符型数组 - 用于存放括号；数组长度
 
初始化一个栈
 
扫描：
如果是一个左括号，压入栈中；
如果是一个右括号，首先判断栈是否为空：

• 栈空则失败；
  栈不空则栈顶元素出栈，并判断与所扫描元素是否匹配
   

检索完全部括号后，栈空说明匹配成功

• 总结：
  用栈实现括号匹配：
  依次扫描所有字符，遇到左括号入栈，遇到右括号则弹出栈顶元素检查是否匹配。
   
  匹配失败情况：
  ①左括号单身②右括号单身③左右括号不匹配

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3.3.2_1_栈在表达式求值中的应用(上)

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表达式

——大家熟悉的算数表达式

由三个部分组成：操作数、运算符、界限符

界限符是必不可少的，反映了计算的先后顺序

Reference: Wikipedia
——Reverse Polish notation

一个灵感：可以不用界限符也能无歧义地表达运算顺序

Reverse Polish notation（逆波兰表达式=后缀表达式）
Polish notation（波兰表达式=前缀表达式）

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中缀、后缀、前缀表达式

后缀、前缀表达式的顺序中的操作数顺序不能变。
 
Eg.
中缀表达式：a + b - c，可以看做(a+b)-c
——用后缀表达式：(ab+)c- ，其中ab+看为整体；
当然！也能看做a + (b - c)
——用后缀表达式：a(bc-)+ ，其中bc-看为整体；
 
一个中缀表达式可能会转换成多种不一样的后缀、前缀表达式

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中缀表达式转后缀表达式（手算）

中缀转后缀的手算方法：
①确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序
②选择下一个运算符，按照「左操作数 -> 右操作数 -> 运算符」的方式组合成一个新的操作数
③如果还有运算符没被处理，就继续②

• 但是中缀表达式中的运算顺序不唯一，后缀表达式也不唯一。

遵守左优先原则：

不遵守左优先原则：

• 遵守“左优先”原则，不要FreeStyle，保证手算和机算结果相同。
• “左优先”原则：只要左边的运算符能先计算，就优先算左边的
  ——后缀表达式中运算符出现的顺序和中缀表达式中的运算顺序是一样的

客观来看两种都正确，只是“机算”结果是前者
算法的确定性：同样的输入只能得到同样的输出

Eg.

• “左优先”原则：可保证运算顺序唯一

可以让最左边的加法先生效。

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后缀表达式的计算（手算）

后缀表达式的手算方法：
从左往右扫描，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应运算，合体为一个操作数

注意：两个操作数的左右顺序

Eg1.

Eg2.

特点：最后出现的操作数先被运算
== LIFO（后进先出）==
栈！！！

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后缀表达式的计算（机算）

用栈实现后缀表达式的计算：
①从左往右扫描下一个元素，直到处理完所有元素
②若扫描到操作数则压入栈，并回到①；否则执行③
③若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压回栈顶，回到①

Step1：

Step2：

Step3：

Step4：

Step5：

Step6：

Step7：

Step8：

注意：先出栈的是“右操作数”

后缀表达式适用于基于栈的编程语言（stack-oriented programming language），如：Forth、PostScript

• 思考：后缀表达式怎么转中缀表达式？

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中缀表达式转前缀表达式（手算）

中缀转前缀的手算方法：
①确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序
②选择下一个运算符，按照「运算符 -> 左操作数 -> 右操作数」的方式组合成一个新的操作数
③如果还有运算符没被处理，就继续②
“右优先”原则：只要右边的运算符能先计算，就优先算右边的

Eg. 没有遵循右优先

Eg. 遵循右优先原则

练习：

中缀转后缀：“左优先”

中缀转前缀：“右优先”

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前缀表达式的计算（机算）

用栈实现前缀表达式的计算：
①从右往左扫描下一个元素，直到处理完所有元素
②若扫描到操作数则压入栈，并回到①；否则执行③
③若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压回栈顶，回到①

注意：先出栈的是“左操作数”

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3.3.2_2_栈在表达式求值中的应用(下)

中缀表达式转后缀表达式（机算）

初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符。
从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况：
①遇到操作数。直接加入后缀表达式。
②遇到界限符。遇到“(”直接入栈；遇到“)”则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“(”为止。注意：“(”不加入后缀表达式。
③遇到运算符。依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到“(”或栈空则停止。之后再把当前运算符入栈。

* /优先级高于+ -

按上述方法处理完所有字符后，将栈中剩余运算符依次弹出，并加入后缀表达式。

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例1：

Step1：

操作数A，加入到后缀表达式中

Step2：

运算符 + ，栈空，入栈

Step3：

操作数B，加入到后缀表达式中

Step4：

运算符 - ，栈非空，依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，即弹出 + 号，再入栈 - 号

扫描到 - 号时，可以确定，他和 + 号中间夹住的操作数B，既要进行加法运算，也要进行减法运算，由于他们的优先级是相等的，那么可以根据左优先原则，可以让操作数B，先执行左边的运算符 + 运算，即弹出 + 号，让加法先生效

Step5：

操作数C，加入后缀表达式

Step6：

运算符 * ，此时栈顶元素是 - 法，优先级低于当前运算符，同时也不能直接运算乘法（如果后面有括号就不能确定能否先运行），先压入栈中

Step7：

操作数D，加入后缀表达式

Step8：

运算符 / ，此时栈顶元素是 * ，优先级等于当前运算符，弹出 * 加入后缀表达式；此时栈顶元素时 - ，优先级低于当前运算符，但 / 号无法判断，入栈 / 号

Step9：

操作数E，加入后缀表达式

Step10：

运算符 + ，此时栈顶元素是 / 号，优先级高于当前运算符，弹出 / 加入后缀表达式；此时栈顶元素是 - 号，优先级与当前运算符相等，弹出 - 号加入后缀表达式；入栈 + 号

Step11：

操作数F，加入后缀表达式

Step12：

处理完所有字符，将栈中剩余运算符依次弹出

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例2（带有界限符）：

Step1：

Step2：

Step3：

Step4：

Step5：

界限符 - 左括号“ ( ”，直接入栈

遇到界限符。遇到“(”直接入栈；遇到“)”则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“(”为止。注意：“(”不加入后缀表达式。

Step6：

Step7：

运算符 - ，此时需要依次弹出栈中优先级更高或相等的所有运算符，碰到“ ( ”停止，入栈 - 号

碰到“ ( ”，即左边的操作数旁边有一个“ ( ”，此时不可以确定 - 号是否立即生效，确定不了运算顺序，压入栈中

Step8：

Step9：

界限符 - 右括号“ ) ”，依次弹出栈中的运算符，直到弹出“ ( ”为止
——左括号“ ( ”不加入后缀表达式
优先生效括号内的部分

Step10：

Step11：

Step12：

Step13：

Step14：

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例3（练习）：

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中缀表达式的计算（用栈实现）

中缀转后缀 + 后缀表达式求值
——两个算法的结合

用栈实现中缀表达式的计算：
初始化两个栈，操作数栈和运算符栈
若扫描到操作数，压入操作数栈
若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同的逻辑压入运算符栈（期间也会弹出运算符，每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈顶元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈）

• 上节后缀表达式的计算（机算）中，
  ——栈用于存放当前暂时还不能确定运算次序的操作数；
• 本节中缀表达式转后缀表达式（计算）中，
  ——栈用于用于存放当前暂时还不能确定运算次序的运算符

两个算法结合，设置两个栈，即可实现中缀表达式的计算

例：

Step1：

操作数A，入栈

Step2：

运算符 + ，栈空，入栈

Step3：

操作数B，入栈

Step4：

运算符 - ，
① 栈顶 + 优先级相等，弹出 + 号，
② 并弹出两个栈顶操作数，
③ 进行运算后，压入操作数栈
类似“中缀转后缀”

Step5：

操作数C ，入栈

Step6：

运算符 * ，栈顶 - 优先级低于其，入栈 * 号

Step7：

操作数D ，入栈

Step8：

运算符 / ，栈顶 * 优先级相等，弹出 * ，弹出两个操作数，运算后压如操作数栈；
栈顶 - 低于其，入栈 / 号

Step9：

操作数E ，入栈

Step10：

运算符 + ，栈顶 / 优先级高于其，弹出 / ，弹出两个操作数，运算后压入操作数栈；
栈顶 - 优先级相等，弹出 - ，弹出两个操作数，运算后压入操作数栈

Step11：

操作数F ，入栈

Step12：

扫描完所有，将运算符栈剩余运算符弹出，并弹出对应的操作数进行计算

• WHY?
  Q：搞这么复杂的意义是什么？
  A：将复杂的问题拆分成一个个最简单的加减乘除运算，拆分成让CPU能够执行的最基本的指令。把算数表达式编译成与其等价的机器指令时，就需要用到这种中缀表达式计算的思想和方法。

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3.3.3_栈在递归中的应用

函数调用背后的过程

函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束（LIFO）- 栈

函数调用时，需要用一个栈存储：
①调用返回地址
②实参
③局部变量

系统会创建函数调用栈，用来保存各个函数在调用过程中必须保存的信息。

比如：

1. 运行main函数时，会把main函数中必要的信息压入栈中：局部变量a,b,c；
2. main函数会调用func1函数，把func1执行结束之后，应该继续执行的代码的存储地址压入栈中（#1），函数调用的两个参数也会压入栈中(a,b)，局部变量(x)也压入栈中；
   ——所以函数中修改a,b的值，修改的只是内存中func1的a,b的值，不会影响到main的a,b值；
3. func1函数会调用func2函数，记录func2执行结束之后我们应该回到哪一句继续执行，把该句代码的存储地址(#2)压入栈中，调用的实参(x)和局部变量(m,n)也存入栈中；
4. func2执行结束后，由栈顶的信息得知，应该往后执行#2句代码，然后把和func2相关的代码弹出栈，释放空间；
   同样的，func1执行结束后，由栈顶信息得知，应该往后执行#1句代码，将func1相关信息删除，接着#1句代码继续执行。

其实在main函数之前，还需要把某些不知道的信息压入栈底。

IDE中：

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栈在递归中的应用

适合用“递归”算法解决：可以把原始问题转换为属性相同，但规模较小的问题

例1

计算正整数的阶乘n!

把n!转换成n*(n-1)!，问题规模变小了，且属性相同

递归调用时，函数调用栈可称为“递归工作栈”
每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶
每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息

问题规模逐渐收敛，直到n = 1，开始逐层返回到第一层的调用n = 10，那么factorial(n - 1)的调用返回值应该是9!，最后一层，再乘上n = 10，即10!返回给main函数的192行代码，将factorial(10)的值赋给x

缺点：太多层递归可能会导致栈溢出，内存资源是有限的

IDE中：

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例2

求斐波那契数列

传入4，在196行调用Fib3和Fib2；
首先调用Fib3（第2层#196,n=3），进入更深层递归，在196行调用Fib2和Fib1；
首先调用Fib2（第3层#196,n=2），进入更深层递归，在196行调用Fib1和Fib0；
首先调用Fib1（第4层#196,n=1），在194行return 1，弹出栈顶元素（第4层#196,n=1）；
在Fib2层还需要调用Fib0（第4层#196,n=0），在192行return 0，弹出栈顶元素（第4层#196,n=0），Fib2相关的调用都有返回值了，Fib2可以向上一层返回（第3层#196,n=2）；
……
……

Fib(2)，Fib(1)，Fib(0)被重复了多次，效率低

总结：

函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束（LIFO）

函数调用时，需要用一个“函数调用栈”存储：
①调用返回地址
②实参
③局部变量

递归调用时，函数调用栈可称为“递归工作栈”
每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶
每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息

缺点：效率低，太多层递归可能会导致栈溢出；可能包含很多重复计算

可以自定义栈将递归算法改造成非递归算法

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3.3.4+3.3.5_队列的应用

树的层次遍历

注：在“树”章节中会详细学习

树是分层的，层次遍历：即一层一层的遍历，就需要队列的辅助。

新建一个队列，从根节点出发按层次遍历各个结点

Step1：遍历1号结点时，把1号结点的左右两个子节点2、3，都放到队列的队尾；

①->②->③

Step2：遍历完1号结点，出队；

②->③

Step3：遍历队头2号结点，把2号结点的左右两个子节点4、5，加入队尾；

②->③->④->⑤

Step4：遍历完2号结点，出队；

③->④->⑤

Step5：遍历队头3号结点，把3号结点的左右两个子节点6、7，加入队尾；

③->④->⑤->⑥->⑦

Step6：遍历完3号结点，出队；

④->⑤->⑥->⑦

Step7：遍历队头4号结点，其没有子节点，直接出队；

⑤->⑥->⑦

Step8：遍历队头5号结点，把5号结点的左右两个子节点8、9，加入队尾；

⑤->⑥->⑦->⑧->⑨

Step9：遍历完5号结点，出队；

⑥->⑦->⑧->⑨

Step10：遍历队头6号结点，其没有子节点，直接出队；

⑦->⑧->⑨

Step11：遍历队头7号结点，把7号结点的左右两个子节点10、11，加入队尾；

⑦->⑧->⑨->⑩->⑪

Step12：遍历完7号结点，出队；

⑧->⑨->⑩->⑪

Step13：⑧⑨⑩⑪号结点都没有子节点，直接出队

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图的广度优先遍历

注：在“图”章节中会详细学习

实现思想和树类似

新建一个队列，每遍历一个结点，要检查和这个结点相邻的其他结点有没有被遍历过。

Step1：遍历1号结点，其相邻结点2、3都没有被遍历过，加入队尾，遍历完1号结点后让其出队

①->②->③
②->③

Step2：遍历2号结点，其相邻结点4没有被遍历过，加入队尾，遍历完2号结点后让其出队

②->③->④
③->④

Step3：遍历3号结点，其相邻结点5、6没有被遍历过，加入队尾，遍历完3号结点后让其出队

③->④->⑤->⑥
④->⑤->⑥

Step4：遍历4号结点，其相邻结点都被遍历过，直接出队

⑤->⑥

Step5：遍历5号结点，其相邻结点7、8没有被遍历过，加入队尾，遍历完5号结点后让其出队

⑤->⑥->⑦->⑧
⑥->⑦->⑧

Step6：⑥⑦⑧号结点的相邻结点都被遍历过，直接出队

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队列在操作系统中的应用

多个进程争抢着使用有限的系统资源时，FCFS（First Come First Service，先来先服务）是一种常用策略。

FCFS：可用队列实现
——先申请的，先分配资源

• Eg1：CPU资源的分配

Step1：多个进程排成就绪队列；

Step2：选择队头元素，上CPU执行一个短的时间片，迅速下CPU进入队尾；

Step3：重复Step2，选择队头元素，上CPU执行一个短的时间片，迅速下CPU进入队尾

这样所有进程都轮流得到了CPU处理。

• Eg2：打印数据缓冲区

场景：去学校打印店打印论文，多个同学用同一台打印机打印，打印的先后顺序如何？

系统开辟了一片缓冲区用于存放打印机此时暂时不能处理的数据，排成队列依次打印。

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知识回顾与重要考点

3.3.1_栈在括号匹配中的应用

用栈实现括号匹配：
依次扫描所有字符，遇到左括号入栈，遇到右括号则弹出栈顶元素检查是否匹配。

匹配失败情况：
①左括号单身②右括号单身③左右括号不匹配

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3.3.2_1_栈在表达式求值中的应用(上)

• 一个中缀表达式可以对应多个后缀、前缀表达式；
  加入了“左优先”和“右优先”原则，使一个中缀表达式只对应一个后缀表达式、一个前缀表达式；
  ——确保算法的“确定性”
• 中缀转后缀，先弹出的元素是“右操作数”；
  中缀转前缀，先弹出的元素时“左操作数”
• “左优先”、“右优先”、“左操作数”、“右操作数”是DIY的说法，方便理解

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3.3.2_2_栈在表达式求值中的应用(下)

• 用栈实现中缀转后缀
• 用栈实现后缀表达式的计算
• 用栈实现中缀表达式的计算（结合前两个算法）

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3.3.3_栈在递归中的应用

• 函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束（LIFO）

• 函数调用时，需要用一个“函数调用栈”存储：
  ①调用返回地址
  ②实参
  ③局部变量

• 递归调用时，函数调用栈可称为“递归工作栈”

• 每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶

• 每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息

缺点：效率低，太多层递归可能会导致栈溢出；可能包含很多重复计算

可以自定义栈将递归算法改造成非递归算法

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3.3.4+3.3.5_队列的应用