数据结构与算法之LeetCode-10.10-数字流的秩（树状数组，什么是树状数组）

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面试题 10.10. 数字流的秩 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

var StreamRank = function() {
	this.arr = new Array(50001).fill(0);
};

/** 
 * @param {number} x
 * @return {void}
 */
StreamRank.prototype.track = function(x) {
	this.arr[x] += 1;
};

/** 
 * @param {number} x
 * @return {number}
 */
StreamRank.prototype.getRankOfNumber = function(x) {
	let total = 0;
  for(let i=0;i<=x;i++){
    total += this.arr[i];
  }
  return total;
};

/**
 * Your StreamRank object will be instantiated and called as such:
 * var obj = new StreamRank()
 * obj.track(x)
 * var param_2 = obj.getRankOfNumber(x)
 */

执行结果：通过

执行用时：148 ms, 在所有 JavaScript 提交中击败了30.95%的用户

内存消耗：49.5 MB, 在所有 JavaScript 提交中击败了16.67%的用户

通过测试用例：29 / 29

class StreamRank {
    int[] tree;
    int n = 50001;
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tree[i];
        return ans;
    }

    void add(int x, int u) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tree[i] += u;
    }

    public StreamRank() {
        tree = new int[n + 1];
    }
    
    public void track(int x) {
        add(x + 1, 1);
    }
    
    public int getRankOfNumber(int x) {
        return query(x + 1);
    }
}

树状数组

关于数状数组的资料，可以查看参考链接，有一些主要特性，lowbit之类的

树状结构是怎样的

黑色数组代表原来的数组（下面用A[i]代替），红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替)，发现没有，每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有

• C[1] = A[1];
• C[2] = A[1] + A[2];
• C[3] = A[3];
• C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
• C[5] = A[5];
• C[6] = A[5] + A[6];
• C[7] = A[7];
• C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];

可以发现，这颗树是有规律的

C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i -2^k+2] + … + A[i]; //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度

例如i = 8(1000)时候，k = 3，可自行验证。

这个怎么实现求和呢，比如我们要找前7项和，那么应该是SUM = C[7] + C[6] + C[4];

而根据上面的式子，容易的出SUMi = C[i] + C[i-2^k1] + C[(i - 2^k1) - 2^k2] + …；

其实树状数组就是一个二进制上面的应用。

现在新的问题来了2^{k该怎么求呢，不难得出2}k = i&(i^{(i-1));但这个还是不好求出呀，前辈的智慧就出来了，2}k = i&(-i);

为什么呢？

lowbit

这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 x&(-x)有
● 当x为0时，即 0 & 0，结果为0；
●当x为奇数时，最后一个比特位为1，取反加1没有进位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为0。结果为1。
●当x为偶数，且为2的m次方时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。
●当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (2^{k)。其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的二进制表示最右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第k+1位因为进位的关系变成了1。左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为0。结果为2}k。
总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。

而且这个有一个专门的称呼，叫做lowbit，即取2^k。

参考链接

面试题 10.10. 数字流的秩 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

差分数组本差 - 数字流的秩 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

写了三行代码直接过了。。。一脸懵 - 数字流的秩 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

[树状数组][c++] 树状数组：单点修改，区间查询 - 数字流的秩 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

树状数组套模板 - 数字流的秩 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

树状数组详解 - Xenny - 博客园 (cnblogs.com)

【面试题 10.10 数字流的秩】【二分 + 插入排序】【树状数组】Java简单实现 - 数字流的秩 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)