树的重心详解（C++）

树的重心又叫树的质心：对于一颗n个节点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该节点为根的有根树时，最大子树的节点数最少。换句话说，删除这个节点后最大连通块（一定是树）的节点数最少。

首先要知道什么是树的重心,树的重心定义为:找到一个点,其最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡. 实际上树的重心在树的点分治中有重要的作用, 可以避免N^2的极端复杂度（从退化链的一端出发），保证NlogN的复杂度, 利用树型dp可以很好地求树的重心.

题目表述

树的重心定义为树的某个节点，当去掉该节点后，树的各个连通分量中，节点数最多的连通分量其节点数达到最小值。树可能存在多个重心。如图所示：

1.当去掉点1后，树将分成两个连通块

（2,4,5）
（3,6,7）

则最大的连通块包含节点个数为3。

2.若去掉点2，则树将分成3个部分

（4）
（5）
（1,3,6,7）

最大的连通块包含4个节点；

......

第一种方法可以得到更小的最大联通分量。可以发现，其他方案不可能得到比3更小的值了，点1就是树的重心。

输入：

输入：第一行一个整数n，表示树的结点个数。（n<100）

接下来n-1行，每行两个数i，j。表示i和j有边相连。

输出：

输入：第一行一个整数n，表示树的结点个数。（n<100）

接下来n-1行，每行两个数i，j。表示i和j有边相连。

样例输入：

7
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7

样例输出：

1
1

思路分析：

任选一个节点为根，把无根树变成有根树，设f[i]表示以为根的子树的节点个数,显然有：

f[i]=∑f[j]+1 （j是i的子树） 结论一

如图，以节点1为根节点，求节点2的最大联通分量的节点个数

我们删除节点2，可以得到3个联通分量：① ② ③

① ② 是节点2的子树，我们可以使用“结论一”递归求得

③是该节点上方的子树，该子树的节点数：

n-f[i]

我们所求的节点i的最大联通分量的节点数为：

dp(i) = max(f[j],n-f[i]) （j是i的子树）

代码演示

#include "iostream"
#include "vector"
using namespace std;
#define N 100
vector G[N];
int n;
int dp[100];
int tot[100];
void read_tree();
void dfs(int u, int fa);
int main(){
    read_tree();
    int root = 2;//转化为有根数，根的位置是任意的，对结果没有影响
    dfs(root,-1);
    int minn = 100;
    vector xx;
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        if(dp[i]>n;
    for (int i = 0; i >u>>v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
}
/**
* 将无根树转换为有根树,dfs过程中顺便计算下子树的节点数
* @param u 以u为有根树的根
* @param fa 节点的父节点
*/
void dfs(int u, int fa) {
    tot[u] = 1;
    for (int i = 0; i