ABC206 F - Interval Game 2 （区间DP，博弈论，SG函数）
题面
题意很简单
A l i c e \tt Alice Alice 和 B o b \tt Bob Bob 在博弈。摆在他们面前有 N \rm N N 个区间 [ l i , r i ) \rm[l_i,r_i) [li,ri) ，每人轮流取出一个区间，放到数轴上，要求取出的区间与当前数轴上的任意区间交集为 ∅ \rm\empty ∅ 。 A l i c e \tt Alice Alice 先手。
T ( 1 ≤ T ≤ 20 ) \rm T(1\leq T\leq20) T(1≤T≤20) 组数据，每组数据给出 N ( 1 ≤ N ≤ 100 ) \rm N(1\leq N\leq100) N(1≤N≤100) 和每个区间 [ l i , r i ) \rm[l_i,r_i) [li,ri)， 1 ≤ l i < r i ≤ 100 \rm1\leq l_i
对于每组数据输出 A l i c e \tt Alice Alice 必胜还是 B o b \tt Bob Bob 必胜。
题解
前置知识：SG函数
通过SG定理的学习，我们知道一个游戏先手必败当且仅当SG值为 0 0 0，且多个子游戏同时进行的情况下，总游戏的SG值为每个子游戏SG值的异或和。
这道题怎么应用呢？
毫无疑问， 2 N \rm 2^N 2N 的算法是不行的，那我们怎么表示总游戏的状态呢？
我们表示不出来！但是我们会发现，总游戏可以分成多个互不干扰的子游戏，而每个子游戏是可以用一个区间 [ L , R ) \rm[L,R) [L,R) 表示状态的！意为左右端点都在 [ L , R ) \rm[L,R) [L,R) 内的所有区间 [ l i , r i ) \rm[l_i,r_i) [li,ri) 组成的子游戏。因为每个子游戏成为无法拆分的一部分时，意味着这个范围内的区间彼此通过非空的交集连通在一起，并且 [ L , R ) \rm[L,R) [L,R) 内的所有区间都没被取走。
如果在某个子游戏的范围 [ L , R ) \rm[L,R) [L,R) 内取走了一个区间 [ l , r ) \rm[l,r) [l,r)，那么这个子游戏就会被分成两个独立子游戏 [ L , l ) \rm[L,l) [L,l) 和 [ r , R ) \rm[r,R) [r,R)。与之前做过的一道题【CF1523G】Try Booking 类似，并不难理解。
此外，如果对于两个子游戏 [ L , R ) \rm[L,R) [L,R) 和 [ L ′ , R ′ ) \rm[L',R') [L′,R′) ，在 [ L , R ′ ) \rm[L,R') [L,R′) 范围内的区间都没被取走的话，是可以把两个子游戏合并为游戏 [ L , R ′ ) \rm[L,R') [L,R′) 的，这不影响。
于是我们可以区间 D P \tt DP DP 了，令 S G L , R \rm SG_{L,R} SGL,R 表示游戏 [ L , R ) \rm[L,R) [L,R) 的SG函数值，那么就可以转移了：（ m e x \rm mex mex 是什么意思不用赘述了吧）
S G L , R = m e x { ( S G L , l i x o r S G r i , R ) ∣ [ l i , r i ) ⊆ [ L , R ) } \rm SG_{L,R}=mex\,\{(SG_{L,l_i}~{\tt xor}~SG_{r_i,R})~|~[l_i,r_i)\sube[L,R)\} SGL,R=mex{(SGL,li xor SGri,R) ∣ [li,ri)⊆[L,R)}
这里有个小细节：计算SG函数值时，如果是递归，那么只能开临时数组。原因不用赘述。
时间复杂度 O ( T ⋅ ∣ U ∣ 2 ⋅ N ) \rm O(T\cdot|U|^2\cdot N) O(T⋅∣U∣2⋅N) 。
CODE
用 dp 代替了 SG 。
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