python中峰值识别算法find_peak原理介绍

find_peak原理介绍

引用原文https://www.zealseeker.com/archives/find-peak/，全文借鉴引用，如有侵权，私信马上删

1、波峰本质

波峰(英语：Wave crest)：是指波在一个波长的范围内，波幅的最大值，与之相对的最小值则被称为波谷。横波突起的最高点称为波峰，陷下的最低点称为波谷。
波峰以上帝视角看是“一个波长范围内的最大值”，而我们在解析一个波的时候，既不知道波长是多少，更不知道这段波长的范围是什么。但无论如何，它一定是一段范围内的最大值，这段范围至少得有三个点，否则不能叫“凸起”。于是我们能给出定义，一段波中，如果出现任意一点 x[i]，它比 x[i-1] 大，也比 x[i+1] 大，则这个点就是波峰。其实比想象中要简单，根本不需要关心其他点大了还是小了，因为如果 x[i] 是波峰，它一定是比前后两个要大。具体算法实现部分则可以下面对 Scipy 的解读。稍微提醒一个上述描述中不完善的地方，万一 x[i]=x[i+1] 怎么办呢？算法中会有详解

5          o             o
4         / \           / \
3        /   \         /   \   x
2   x   /     \   x   /     \ / \
1  / \ /       \ / \ /           \
x 012101234543210121012345432123210
1 0         1         2         3
0 012345678901234567890123456789012

如上述示意图，无论是 o 还是 x 都是波峰，都满足该点比前后两个点都要大。我们也能看出来尽管 x 点可能是噪音，但无法否认某种意义上说这也是波峰，毕竟在我们定义什么是噪音之前，它们都是波峰，你说这是噪音，我也能说这不是，因此算法本身先不考虑这个问题，先把波峰都找到。

接下来讨论如何才能只得到 o 而舍去 x 呢？我开始的想法是设置高度阈值，比如最大高度的 80%，在上图中就是要 >=4，理由是只有真的峰才会很高，噪音都在下面，又比如下图是网上盗的一张核磁共振谱，我们可以设置某个强度为阈值，大于它的峰都是表示一种氢原子。
可事实并不如人愿，我拿到的波形有时可能像下面那张图一样，无论怎么设置阈值，要么就是会漏掉真正的波峰，要么就是会把噪音也加进来。
于是要靠另一个参数，prominence，即这个峰突出得有多强，我们之所以能感受到上图中哪些是真正的峰，哪些是噪音，就因为我们人眼在感知 prominence，那些真正的峰凸起有 1 以上，而那些噪音则连 0.5 都不到。因此我们需要的正是计算这些 prominence。

Prominence 大致的计算方法为：分别在 peak 的左边和右边找到一个点，称之为 left_base 和 right_base。所谓 base 就是最小值，寻找过程中满足以下这个条件：从 peak 出发，碰到比 x[peak] 还大的值时就停止，这个条件可以理解为只在这个峰附近找 ”base“，不越过更高的峰。base 也可以理解为波谷，不过需要提醒的是，由于寻找 base 过程中是可以越过较小的峰，所以 base 并非唯一的波谷，而是“不越过大峰的条件下最小的波谷”。

找到波峰和最小的波谷后，则可以通过计算两者的差得到 left_prominence 以及 right_prominence，取更小的值作为整体的 prominence。之所以取小值，是因为 prominence 指的是该峰的突出度，既然是突出度，当然得既从左边看突出多少又要从右边看突出多少，按小的算才是两边同时突出的。以第一个图为例，最后一个 x 从左边看突出度为 1，从右边看则为 2，因此我们得出最终 prominence 为 1。具体算法上如何实现，可以看下文对 scipy 的解读。

与 prominence 类似的一个常见的判断方法就是 peak_width，即波峰的宽度，默认计算波峰高度达到 50% （所谓高度即计算的 prominence）。因为往往一些重要的波的宽度可能会比较大，而噪音则宽度较小。这里就不详细介绍，有兴趣的读者可以去解读 peak_widths 函数的 源码。

最后关于 find_peaks 的用法以及详细的例子介绍则可以看 scipy 的 官方文档。
这边给出我自己的例子：

from scipy.signal import find_peaks
x = list('012101234543210121012345432123210')
peaks, properties = find_peaks(x, prominence=0)
print(peaks)
print(properties)
# Output
[ 2  9 16 23 29]
{'prominences': array([2., 5., 2., 5., 2.]),
 'left_bases': array([ 0,  4, 14, 18, 27]),
 'right_bases': array([ 4, 14, 18, 32, 32])}

2、Scipy 源码解读

寻找局部最大值
以下是选自 scipy/signal/_peak_finding_utils.pyx 中的 _local_maxima_1d 函数，注意这是 Cython 而不是 Python
其中一些重要的变量有：

• i 即横坐标位置指针，从 1 到 max-1 位置，因为第一个点和最后一个点不会考虑是波峰
• m是最终找到的波峰的数量，这个数量不会超过数据点总数的一半，因为每产生一个峰，其前面一个点一定不是波峰。
• left_edges、right_edges 以及midpoints分别标记了每个波峰的起点、终点和中点（一般的波峰起点等于中点等于终点，但有时如上述说的“连峰”时则这三个值会不同）。
• i_adhead用来寻找下一个下降的点，如果下一个点和 x[i] 一样大则继续往后找，如果比 x[i] 大则说明 i点不是波峰，反之如果比 x[i]小则说明找到波峰了。

def _local_maxima_1d(np.float64_t[::1] x not None):
    cdef:
        np.intp_t[::1] midpoints, left_edges, right_edges
        np.intp_t m, i, i_ahead, i_max
    
    midpoints = np.empty(x.shape[0] // 2, dtype=np.intp)
    left_edges = np.empty(x.shape[0] // 2, dtype=np.intp)
    right_edges = np.empty(x.shape[0] // 2, dtype=np.intp)
    m = 0

    with nogil:
        i = 1  
        i_max = x.shape[0] - 1
        while i < i_max:
            # 只有前面一个点比它小时才可能是峰
            if x[i - 1] < x[i]:
                i_ahead = i + 1 
                while i_ahead < i_max and x[i_ahead] == x[i]:
                    i_ahead += 1
                # 找到下一个点比 x[i] 小，则说明 x[i] 是波峰
                if x[i_ahead] < x[i]:
                    left_edges[m] = i
                    right_edges[m] = i_ahead - 1
                    midpoints[m] = (left_edges[m] + right_edges[m]) // 2
                    m += 1
                    # 直接从 i_head 开始考虑下个波峰，因为前面几个都一样大
                    i = i_ahead
            i += 1
    midpoints.base.resize(m, refcheck=False)
    left_edges.base.resize(m, refcheck=False)
    right_edges.base.resize(m, refcheck=False)

    return midpoints.base, left_edges.base, right_edges.base

3、得到 Prominence

下文摘录 scipy 中计算 prominence 的部分源码，一些不重要的代码已经删除，同样介绍先几个重要的变量：

• peak_nr，表示“第几个峰”，0 表示第一个 peaks 是个列表，储存每个峰的位置，用局部变量 peak 表示。
• i_min 和i_max 分别表示搜索范围，可以通过参数 wlen控制窗口范围，默认是 -1，表示所有。注意 i_min 和 i_max本身不会考虑“不越过更大的峰”这个限制，而只是需要提前设定的“搜索窗口”。
• left_min 和 right_min，分别用来记录左边和右边的最小值。

def _peak_prominences(np.float64_t[::1] x not None,
                      np.intp_t[::1] peaks not None,
                      np.intp_t wlen):
    cdef:
        np.float64_t[::1] prominences
        np.intp_t[::1] left_bases, right_bases
        np.float64_t left_min, right_min
        np.intp_t peak_nr, peak, i_min, i_max, i
        np.uint8_t show_warning

    show_warning = False
    prominences = np.empty(peaks.shape[0], dtype=np.float64)
    left_bases = np.empty(peaks.shape[0], dtype=np.intp)
    right_bases = np.empty(peaks.shape[0], dtype=np.intp)
    with nogil:
        for peak_nr in range(peaks.shape[0]):
            peak = peaks[peak_nr]
            i_min = 0
            i_max = x.shape[0] - 1
            if 2 <= wlen:
                # 如果设置了 wlen，则两边更占一般限制搜索范围
                i_min = max(peak - wlen // 2, i_min)
                i_max = min(peak + wlen // 2, i_max)

            # peak 的左边即[i_min, peak] 范围内寻找 left_base
            i = left_bases[peak_nr] = peak
            left_min = x[peak]
            while i_min <= i and x[i] <= x[peak]:
                if x[i] < left_min:
                    left_min = x[i]
                    left_bases[peak_nr] = i
                i -= 1

            # peak 的右边即 [peak, i_max] 范围内寻找 right _base
            i = right_bases[peak_nr] = peak
            right_min = x[peak]
            while i <= i_max and x[i] <= x[peak]:
                if x[i] < right_min:
                    right_min = x[i]
                    right_bases[peak_nr] = i
                i += 1
            # prominence 等于 peak 对应的值减去左右两边最小值之间较大的那个值
            prominences[peak_nr] = x[peak] - max(left_min, right_min)

    return prominences.base, left_bases.base, right_bases.base