反比例函数变形研究

    通过前两个礼拜的学习，我们已经对反比例函数无论是在函数图像上还是在函数不等式上都有了较为深入且全面的认识，并同时感受到了反比例函数与正比例函数的巨大的差别，但我还要继续追问，就像正比例函数属于一元一次函数一样，反比例函数有是否拥有一个比一元一次反比例函数的更普遍的形式？让我们开始探索。

    首先，让我们列出一个最最普遍的反比例函数：y=2/x，可以看到，这个函数的函数图像复合所有反比例函数图像的基本性质：过原点轴对称，在y随X的增大而减小，函数图像呈曲线，并且分为正半轴负半轴两部分，同时，反比例函数上的所有点都无限接近于x轴和y轴，但却永远无法真正靠近这两个坐标轴。

    那么此时，将原反比例函数+1，变为=2\x+1。此时，如果从数的角度来看，找出这一个函数所对应的各个方程和不等式，能够得出以下结果。

      写出不等式得到：

      通过简单的数学观察，我们已经能够发现，这种经过变形的反比例函数的常规方程和不等式的解已经不再是大于零小于零或者等于零，而是产生了一定的位移，而位移的数目似乎正好是b值的一半，并且方向也正好相反。这是否是普遍现象呢？让我们走进数形结合感受一下。画出变式函数图像。

      有没有神奇的发现，整个函数从大体图像上来讲和原先的普遍的反比例函数非常相像，许多性质也完全相同，但是整体向上位移了一格，正好对应了不等式中向下减少一。如果再改一改，改为+5呢？

    图像同样上升，不等式和方程的节点变为-2.5。

    如果b值为负数 -5呢？

      直到此时，想必我们已经能够对这种姑且叫其反比例一次函数的函数的性质有一个大概的认知了，那就是这个函数图像在图像的形状上和反比例函数图像相同，但是，这个图像的对称轴却取决于函数表达式中k/x+b的b的加减值，如果加了n，便是关于原点往上数n的单位的点轴对称，如果加了-n，便是关于原点往下数n格的点对称（而其对应的一元一次方程和不等式的节点会在原有的零上加上负二分之一的b值）当然，在同时，原先的反比例函数中永远和X轴没有交点和永远趋近于X轴的性质也顺势打破，转为了永远无法真正接近其对称点做成的关于X轴做的平行线。

        所以，反比例一次函数的图像其实就相当于有一个外在的量改变了函数的参照系，让函数转为根据那个量分成两部分，根据那个量显现反比例函数的所有性质。从这点上来讲，它和正比例函数及一元一次函数，简直是有异曲同工之妙：我们知道，所有的正比例函数都是过原点的一条直线，但当正比例函数出现了b值，正比例函数的函数图像同样会根据这一个b值在X轴上左右移动，其移动的距离和方向同样取决于b值的正负性。