【VRP问题】基于模拟退火算法求解带时间窗的车辆路径规划问题VRPTW

　模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

模拟退火算法的模型 　　

模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 　

模拟退火的基本思想: 　　

(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L 　　

(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步： 　　

(3) 产生新解S′ 　　

(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数 　　

(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解. 　　

(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。 终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。 　　

(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

模拟退火的算法流程图如下:

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤： 　　

第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。 　　

第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。 　　

第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。 　　

第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。 　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性

如果你对退火的物理意义还是晕晕的，没关系我们还有更为简单的理解方式。想象一下如果我们现在有下面这样一个函数，现在想求函数的（全局）最优解。如果采用Greedy策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找打一个局部最后解B。

模拟退火其实也是一种Greedy算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以上图为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解B后，会以一定的概率接受向右继续移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达B 和C之间的峰点，于是就跳出了局部最小值B。

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变数,k为Boltzmann常数。Metropolis准则常表示为

Metropolis准则表明，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE) = exp( dE/(kT) )。其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。所以P和T正相关。这条公式就表示：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（因为退火的过程是温度逐渐下降的过程），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。也就是说，在用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值 f，温度T演化成控制参数 t，即得到解组合优化问题的模拟退火演算法：由初始解 i 和控制参数初值 t 开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或丢弃”的迭代，并逐步衰减 t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值 t 及其衰减因子Δt 、每个 t 值时的迭代次数L和停止条件S。

总结起来就是：

• 若f( Y(i+1) ) <= f( Y(i) ) (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动；

• 若f( Y(i+1) ) > f( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）相当于上图中，从B移向BC之间的小波峰时，每次右移（即接受一个更糟糕值）的概率在逐渐降低。如果这个坡特别长，那么很有可能最终我们并不会翻过这个坡。如果它不太长，这很有可能会翻过它，这取决于衰减 t 值的设定。

关于普通Greedy算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：

• • 普通Greedy算法：兔子朝着比现在低的地方跳去。它找到了不远处的最低的山谷。但是这座山谷不一定最低的。这就是普通Greedy算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。

  • 模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向低处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最低的方向跳去。这就是模拟退火。

  • VRP模型

    (1)车辆路径规划问题介绍

    车辆路径规划问题，经过60年来的研究与发展，研究的目标对象，限制条件等均有所变化，已经从最初的简单车辆安排调度问题转变为复杂的系统问题。最初的车辆路径规划问题可以描述为：有一个起点和若干个客户点,已知各点的地理位置和需求,在满足各种约束的条件下,如何规划最优的路径,使其能服务到每个客户点,最后返回起点。通过施加不同的约束条件，改变优化的目标，可以衍生出不同种类的车辆路径规划问题。同时车辆路径规划问题属于典型的NP-hard问题，其精确算法能求解的规模很小，故启发式算法也就成了研究热点。

    (2)VRPTW简介

    VRPTW(Vehicle routing problem with time windows)即带时间窗的车辆路径规划问题，其对于每一需求点加入了时间窗的约束，即对于每一个需求点，设定服务开始的最早时间和最晚时间，要求车辆在时间窗内开始服务顾客。

    需求点的时窗限制可以分为两种，一种是硬时间窗(Hard Time Window)，即要求车辆必须在时间窗内开始服务顾客，早到必须等待，迟到就拒收，另一种是软时间窗(Soft Time Window)，不一定要在时间窗内开始服务顾客，但是在时间窗外开始服务必须要惩罚，以惩罚代替等待与拒收是软时间窗和硬时时间窗的最大的区别。

    VRPTW的数学模型如下：

    

    （2.2）保证了每个顾客只被访问1次

    （2.3）保证了装载的货物不超过容量

    （2.4）（2.5）（2.6）确保了每辆车从depot出发最后回到depot

    （2.7）（2.8）确保在时间窗内开始服务

tic
clear
clc
%% 用importdata这个函数来读取文件
c101=importdata('c101.txt');
cap=200;        
%% 提取数据信息
E=c101(1,5);                                                    %配送中心时间窗开始时间
L=c101(1,6);                                                    %配送中心时间窗结束时间
vertexs=c101(:,2:3);                                            %所有点的坐标x和y
customer=vertexs(2:end,:);                                      %顾客坐标
cusnum=size(customer,1);                                        %顾客数
v_num=5;                                                        %车辆最多使用数目
demands=c101(2:end,4);                                          %需求量
a=c101(2:end,5);                                                %顾客时间窗开始时间[a[i],b[i]]
b=c101(2:end,6);                                                %顾客时间窗结束时间[a[i],b[i]]
s=c101(2:end,7);                                                %客户点的服务时间
h=pdist(vertexs);
dist=squareform(h);                                             %距离矩阵
%% 模拟退火参数
belta=10;                           %违反的容量约束的惩罚函数系数
gama=100;                           %违反时间窗约束的惩罚函数系数
MaxOutIter=1000;                    %外层循环最大迭代次数
MaxInIter=300;                      %里层循环最大迭代次数
T0=100;                             %初始温度
alpha=0.99;                         %冷却因子
pSwap=0.2;                          %选择交换结构的概率
pReversion=0.5;                     %选择逆转结构的概率
pInsertion=1-pSwap-pReversion;      %选择插入结构的概率
N=cusnum+v_num-1;                   %解长度=顾客数目+车辆最多使用数目-1
%% 随机构造初始解
currS=randperm(N);                  %随机构造初始解
[currVC,NV,TD,violate_num,violate_cus]=decode(currS,cusnum,cap,demands,a,b,L,s,dist);   %对初始解解码
%求初始配送方案的成本=车辆行驶总成本+belta*违反的容量约束之和+gama*违反时间窗约束之和

    end
    %记录外层循环每次迭代的全局最优解的总成本
    BestCost(outIter)=bestCost;
    %显示外层循环每次迭代的信全局最优解的总成本
    disp(['第',num2str(outIter),'代全局最优解:'])
    [bestVC,bestNV,bestTD,best_vionum,best_viocus]=decode(Sbest,cusnum,cap,demands,a,b,L,s,dist);   %对全局最优解解码
    disp(['车辆使用数目：',num2str(bestNV),'，车辆行驶总距离：',num2str(bestTD),'，违反约束路径数目：',num2str(best_vionum),'，违反约束顾客数目：',num2str(best_viocus)]);
    fprintf('\n')
    %更新当前温度
    T=alpha*T;
end
%% 打印外层循环每次迭代的全局最优解的总成本变化趋势图
figure;
plot(BestCost,'LineWidth',1);
title('全局最优解的总成本变化趋势图')
xlabel('迭代次数');
ylabel('总成本');
%% 打印全局最优解路线图
draw_Best(bestVC,vertexs);
toc