数据结构——树与二叉树

目录

1.树的概念与结构

1.1树的概念

1.2树的相关概念

1.3树的表示

1.4树在实际中的应用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

2.2特殊的二叉树

2.3二叉树的性质

2.3.1 性质

2.3.2例题

2.4二叉树的存储结构

2.4.1顺序结构

2.4.2. 链式存储

3.二叉树的顺序结构及实现

4.二叉树链式结构的实现

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1.树的概念与结构

1.1树的概念

与之前学习的栈和队列等结构不同，这里的树是非线性的数据结构，也就是说，数据的储存不再是连续的（注意：这里所讲的连续与否，都是从逻辑上而言的），它是由n个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。把它叫树就是因为它像一个倒挂的树，根朝上，枝叶朝下。

• 这里的”A“节点称为根节点。

• 除了根节点外，剩下的部分又可以看成是一棵一棵的子树
• 注意：这里的所有子树之间不能有交集，每个节点只能有一个前驱（前节点），可以有0个或多个后继（后节点），换种说法也就是只能分支，不能成环，以下这些都不能叫做树

树的小结论：

• n个节点的树有n-1条边。
• 总边数与度之间的关系为：n-1=0*n0+1*n1+2*n2+3*n3（度的概念见1.2）

1.2树的相关概念

以下是一些树的相关约定的名词，大家可以熟悉一下，以便阅读一下文章，一些有关树的题目也会用到这些名词，常用一点的我会为大家标注出来。

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点（后文我们都简称为父节点）
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点（后文我们都简称为子节点）
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存 值，也要保存 结点和结点之间 的关系。实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法（每个节点存储父节点），孩子表示法（每个节点储存所有的子节点）、孩子双亲表示法（存储父节点和子节点）以及孩子兄弟表示法（后续讲解）等。

综合评判一下：

• 双亲表示：容易向上查找，但向下查找却很难，而我们的大部分操作都是向下的；
• 孩子表示法：子节点数量不确定，难以存储，难以向上查找；
• 孩子双亲表示法：虽然向上向下都可以了，但难以存储的诟病依然在。

前面的一些存储方式都有较大问题，那我们来看一下 孩子兄弟表示法：

每一个节点只存储两个关系节点： 第一个孩子节点， 下一个兄弟节点，当然还有还有存储自己数据的部分。

这种存储方式仅用两个节点就实现了树的串联，相较前面几种它的优势也尤为突出，对于一般的树，我们通常使用的也是这种 孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

1.4树在实际中的应用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

二叉树是树的一种特例，该树由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成，两棵子树又可看成是一个根节点和属于它的两棵子树组成的二叉树，以此递归下去，直到子树为空。

从上图可以看出:

        1.二叉树不存在大于2的节点

        2.二叉树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：任意二叉树都是由一下几种情况复合而成的：

2.2特殊的二叉树

二叉树算是树的一种特殊情况，而二叉树再加以一定的限制也可生成一些新的概念：

        1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

        2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的性质

2.3.1 性质

二叉树有一些特殊的性质，如果对这些性质稍加掌握，在做一些概念性题目的时候会容易很多，后文也会直接使用某些结论：

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数（即满二叉树时）是
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=，对完全二叉树，都有(log计算需零向取整)(原理：满二叉树根据性质2倒推即可，完全二叉树深度在范围内,当你n>=1时，恰好也在这个范围内）
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   •         若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   •         若2i+1=n否则无左孩子
   •         若2i+2=n否则无右孩子.
6. 完全二叉树度为1的节点只能有1或0个

2.3.2例题

一些例题分析，以增加大家对性质的熟悉度，可以试着做一下，再与解析进行对照：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

3. 一棵完全二叉树的节点数位为 531 个，那么这棵树的高度为（ ）

A 11

B 10

C 8

D 12

4. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

解析：

1.有199个度为2的节点，根据结论3，叶节点，也就是度为0的节点有200个。

2.二叉树的节点只有三种，设度为0、度为1、度为2的节点数分别是、、，由结论3，，又因为完全二叉树度为1的节点只能有1或0个（大家可以画图自己感受一下），当为0， = ，与题目的偶数不符，所以只能是1，于是就有：;

3.设树的高度为和，根据结论2，，解得h=10;

4. 与第3题基本相同，只不过这里有奇数个节点， 所以只能是0， =  = 767， = 384;

答案：

1.B

2.A

3.B

4.B

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

2.4.1顺序结构

之前的顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，而一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

 

 

2.4.2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个部分组成，数据和左右指针，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，至于三叉链，在后面的如红黑树等部分再详细介绍。

 

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType _data; // 当前节点值域
};
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

3.二叉树的顺序结构及实现

数据结构——二叉树的顺序结构及实现（堆）_Massachusetts_11的博客-CSDN博客

4.二叉树链式结构的实现