线性代数·关于线性相关和线性组合

我本来对线性相关和线性组合的理解是，如果几个向量线性相关，那么等价于他们可以互相线性表示。但其实这是一个误区。

线性相关是对一组向量之间的关系而言的，这里面会存在极大线性无关组。极大线性无关组确定了一个空间，线性相关表示向量都落在这个空间里，会有多余，但其中任何一个极大线性无关组都像一个顶梁柱一样，要表示其他向量他们就不能缺。

因此，在线性相关的一组向量里，不一定每个向量都可以被其他向量线性表示。

比如在（0，0，1）（0，1，0）（1，0，0）（1，1，1）这一组中，前三个向量是“顶梁柱”，可以说（1，1，1）是可以被线性表示的，但前三个中任何一个就不能被其他线性表示。

所以，线性相关是表示一组向量之间是否除了“顶梁柱”还有其他向量，可以通过把他们排成一个矩阵，通过初等行（列）变换计算他们是否列（行）满秩，若不是列满秩，则这组列向量就有多余的向量，那么他们除了“顶梁柱”还有别的向量，那么他们线性相关。（也可以看成以他们为系数矩阵的一个齐次线性方程组的解的情况，如果要线性相关，那就要有非零解，回到系数矩阵，还是r（A）< 未知数个数）

此处小结论：n维向量空间中任意多于n个向量组成的向量组必线性无关。

而线性组合是针对一个向量是否能被一组向量所“接受”，他站在展示台，面临着这组“评审向量”的测量。如果他的维数在向量组的空间里，就可以被“接纳”，就可以被线性表示。

那么具体计算向量a是否可以被线性表示，可以考虑把“评审向量组”作为系数矩阵，a作为等号右边的向量的非齐次线性方程组，如果有解，那们就可以被线性表示。

总之，如果向量是一群人，线性相关是集体之间的相容性，是一个有联系的群体的下限：至少有一个人可以游走其中，连通所有人；而线性组合则是某个人被接纳的程度：你未必是那个可以游走四方，配六国相印的人。

（制作较为粗糙，权当经验的记录和分享而尔。）