差分——（2）二维差分

前面部分我们介绍了一维差分，https://blog.csdn.net/justidle/article/details/103761632。下面我们扩展一下，来介绍二维差分。

什么是二维差分

我们有一个矩阵，如下图所示。

根据二维前缀和表示的是右上角矩形的和，由于差分只涉及前面相邻的数（由一维可以推出），并且由前面范围的数相加得到这个位置的数。那么类比二维前缀和和一维差分，可以简单推测出二维差分的公式

如何从差分矩阵得到原矩阵呢？可以参考下面公式

P.S. 道歉，前面这个公式写错了，感谢 @繁星-落眼 的纠正。再次道歉。

举例

比如，我们有一个矩阵 a，如下所示：

1 2 4 3
5 1 2 4
6 3 5 9

那么对应的二维差分矩阵 p 如下：

1  1  2 -1
4 -5 -1  3
1  1  1  2

应用

　如果我们要在左上角是 (x1,y1)，右下角是 (x2,y2) 的矩形区间每个值都 +a，如下图所示

在我们要的区间开始位置（x1,y1）处 +c，根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄色部分，多影响了两个蓝色部分，所以在两个蓝色部分 -c 消除 +c 的影响，而两个蓝色部分重叠的绿色部分多了个 -c 的影响，所以绿色部分 +c 消除影响。所以对应的计算方法如下：

diff[x1][y1] += c;
diff[x1][y2+1] -=c;
diff[x2+1][y1] -=c;
diff[x2+1][y2+1] += c;

模板题

链接

我的OJ，http://47.110.135.197/problem.php?id=5227。

题目描述

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1，y1，x2，y2，c，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入

第一行包含整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1，y1，x2，y2，c，表示一个操作。

输出

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

样例输入

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

样例输出

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

数据范围

1 ≤ n, m ≤ 1000,
1 ≤ q ≤ 100000,
1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ n,
1 ≤ y1 ≤ y2 ≤ m,
−1000 ≤ c ≤ 1000,
−1000 ≤ 矩阵内元素的值 ≤ 1000

分析

这是一个二维差分的模板题。

数据分析

下面我们根据样例输入来分析一下，样例输出是如何得到的。

初始状态的差分数组 diff 为

 1  1 0 -1
 2 -2 0  0
-2  1 0  1

第一次操作为 1 1 2 2 1，得到差分数组 diff 变为

 2  1 -1 -1
 2 -2  0  0
-3  1  1  1

第二次操作为 1 3 2 3 2，得到差分数组 diff 变为

 2  1  1 -3
 2 -2  0  0
-3  1 -1  3

第二次操作为 1 3 2 3 2，得到差分数组 diff 变为

 2  1  1 -3
 2 -2  0  0
-2  1 -1  3

最终，我们可以根据差分数组 diff 求出对应的数组。

数据范围

从题目中知道，n 的最大值为 1000，因此我们定义数组为 1004。

数组的每个数范围为 [-1000, 1000]，c 的范围为 [-1000, 1000]，操作数 q 最大值为 100000。因此我们可以计算出，经过 q 次操作后，最大的数据为 1000+1000*100000 = 10^8+1000，在 int 的表示范围内。同理最小的数据将是 -1000+(-1000*100000)=-10^8-1000，也在 int 的表示范围内。

AC 代码

#include 
using namespace std;

const int MAXN = 1e3+6;
const int MAXM = 1e3+6;
int a[MAXN][MAXM] = {};
int diff[MAXN][MAXM] = {};

int main() {
    int n,m,q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

    int i, j;
    for (i=1; i<=n; i++) {
        for (j=1; j<=m; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            diff[i][j] = a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
        }
    }

    for (i=0; i