c++算法初级8——递推与递归

c++算法初级8——递推与递归

递推

递推思想：

根据已有的东西一点点地推出未知的东西。

使用递推解题三步骤：

• 数学建模
• 找出递推式和初始条件
• 写出代码。

张爽的青蛙（斐波那契）问题：地上有n个石头从左到右排成一排，张爽同学养的青蛙要从第一个石头跳到最后一个石头上，每次可以选择向右跳一格或者跳两格，问总共有多少种不同的走法？

递推表达式：设跳到第i格有$f(i)$个跳法，则$f(i)=f(i-1)+f(i-2)$
初始条件：f[1] = f[2] = 1。因为从1走到1只有一种方案（呆在原地不动），从1走到2也只有一种方案（走一格）；
代码：

# include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int MOD = 998244353; // 答案对998244353取模。
int k, f[1000010];

int main()
{
    cin >> k;
    f[1] = 1;
    f[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= k; i++)
    {
        f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % MOD;
    }
    cout << f[k] << endl;
    return 0;
}

卡特兰数问题：由n对括号组成的括号序列，有多少种是合法的括号序列？答案对998244353取模。

什么是合法的括号序列？其定义如下：

空序列是合法的括号序列
如果A是合法的括号序列，那么(A)是合法的括号序列
如果A和B是合法的括号序列，那么AB也是合法的括号序列

简单通俗地讲，合法的括号序列就是：任何一个左括号都必须有与之对应的右括号，任何一个右括号都必须有与之对应的左括号。

比如：

()(()(()))是合法的括号序列
)(不是合法的括号序列，因为第一个右括号没有与之对应的左括号
(()))不是合法的括号序列，因为最后一个右括号没有与之对应的左括号

类似的，如果我们想用递推解决问题，我们就要找到递推式。首先开一个数组int f[n]，用f[i]来表示i对括号能够组成多少种合法的括号序列。那么，怎么根据f[0], f[1], f[2], …, f[k-1]的值推出f[k]的值呢？

我们继续使用分类讨论的思想：由于合法括号序列的最后一个字符一定是右括号，不妨假设最终的括号序列长成这个样子：A(B)。其中，A和B都是合法括号序列（注意A和B可以是空序列）。

我们把最终的序列分成k种：

A由0对括号组成，B由k-1对括号组成，这样的序列有f[0] * f[k-1]种
A由1对括号组成，B由k-2对括号组成，这样的序列有f[1] * f[k-2]种
A由2对括号组成，B由k-3对括号组成，这样的序列有f[2] * f[k-3]种
……
A由m对括号组成，B由k-1-m对括号组成，这样的序列有f[m] * f[k-1-m]种
……
A由k-1对括号组成，B由0对括号组成，这样的序列有f[k-1] * f[0]种

由此，就得到了递推式

初始条件：
f(0)=1，，因为0对括号只能组成一种括号序列（空序列）
代码

# include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
int n, f[100010];

int main() {
    cin >> n;
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            f[i] = (f[i] + 1ll * f[j] * f[i - j - 1]%MOD) % MOD;
        }
    }
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}

时间复杂度$O(n^2)$

递推思想的运用

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