传输线的物理基础（七）：传输线的一阶模型

理想传输线是一种新的理想电路元件，它具有恒定的瞬时阻抗和与之相关的时间延迟这两个特殊属性。从某种意义上说，这种理想模型是一种“分布式”模型，即理想传输线的属性分布在其长度上，而不是集中在单个集总点。

在物理上，可控阻抗传输线仅由两根具有一定长度且全长截面均匀的导体组成。在本章的前面，我们介绍了一个零阶模型，它将传输线描述为间隔一定距离的电容器的集合。这是一个物理模型，而不是等效的电气模型。

我们可以通过将信号和返回路径导体的部分描述为环路电感来进一步近似物理传输线。传输线最简单的等效电路模型是用小环路电感分隔小电容，如下图所示。 C为导体间的电容，L为各段间的环路电感

信号路径的每一段都有一些与之相关的部分自感，返回路径的每一段也都有一些与之相关的部分自感。分立电容器之间的每个信号路径和返回路径段之间存在一些部分互感。对于微带线等不平衡传输线，信号路径和返回路径部分的局部自感不同。事实上，信号路径的局部自感可能比返回路径的局部自感大 10 倍以上。

但是，从信号沿线路传播的​​角度来看，传播的是从信号到返回路径的电流环路。从这个意义上说，所有信号电流看到的都是沿信号路径段向下并通过返回路径段返回的环路电感。对于传输线中的信号传播和大多数串扰效应，信号路径和返回路径的局部电感不起作用。只有环路电感才是重要的。当将理想的分布式传输线近似为一系列 LC 段时，信号所见的电感（如模型中所示）实际上是环路电感。

请务必牢记，此集总电路模型是理想传输线的近似值。在极端情况下，随着电容器和电感器的尺寸越来越小并且每个的数量增加，近似值会越来越好。

在极端情况下，当每个电容器和电感器都无穷小且元件数量无穷大时，每个长度都有一个统一的电容 CL 和一个统一的环路电感 LL。这些通常称为传输线的线路参数。给定线路的总长度 Len，总电容由下式给出：

总电感由下式给出：

CL表示单位长度电容，LL表示单位长度环路电感，Len表示传输线长度。

仅通过查看此 LC 电路，很难了解信号将如何与其相互作用。乍一看，我们可能会认为会有很多振荡和共振。但是当每个元素的大小无限小时会发生什么？

真正了解信号如何与此电路模型相互作用的唯一方法是应用网络理论并求解此 LC 网络表示的微分方程。结果表明，沿着网络传播的信号将在每个节点处看到恒定的瞬时阻抗。这个恒定的瞬时阻抗与我们发现的理想分布式传输线元件的瞬时阻抗相同。瞬时阻抗在数值上是线路的特性阻抗。同样，信号进入 LC 网络前端的时间和它出来的时间之间也会有一个有限的延迟。

使用网络理论，我们可以计算特性阻抗和时间延迟如何取决于线路参数和线路总长度：

其中，Z0表示特性阻抗，LL表示传输线单位长度的环路电感，CL表示传输线单位长度的电容，TD表示传输线的时间延时，Ltotal表示传输线总的环路电感，Ctotal表示传输线总的电容，v表示信号在传输线上的速度。

无需为信号沿传输线的传播调用有限速度，LC 网络的电气特性就可以预测这种行为。同样，虽然很难通过查看电路模型来判断，但网络理论预测信号在电路的每个节点处都存在恒定阻抗。

这两个预测的特性——特征阻抗和时间延迟——必须与我们基于有限速度的零阶物理模型和电容器桶集合导出的相同值相匹配。通过结合这两个模型的结果，可以得出许多非常重要的关系。

因为信号的速度取决于材料的介电常数以及单位长度的电容和单位长度的电感，我们可以将单位长度的电容与单位长度的电感联系起来：

根据特性阻抗和速度的关系，可以得出以下公式：

根据传输线的时间延时和特性阻抗，下式可以得出：

其中，Z0表示特性阻抗，LL表示传输线单位长度的环路电感，CL表示传输线单位长度的电容，TD表示传输线的时间延时，Ltotal表示传输线总的环路电感，Ctotal表示传输线总的电容，v表示信号在传输线上的速度。

例如，一个50Ohm的传输线，介电常数4，单位长度的电容CL=83/50x2=3.3 pF/inch，这是一个惊人的结论。

如果线宽加倍，电介质间距必须加倍才能保持相同的特性阻抗，而电容将保持不变。BGA package内部的走线设计为50Ohm，0.5inch长，电容为3.3pF/inch x 0.5inch=1.6pF。

同样的，FR4板材上50Ohm传输线单位长度的电感等于LL=0.083 x 50 x 2=8.3nH/inch。

如果一个50Ohm传输线的时间延时是1ns，传输线上总的电容为Ctotal=1nsec/50=20pF。如果线长6inch，那么20pF电容分布在6inch长度上，单位长度电容等于20pF/6inch=3.3pF/inch。同样的线，从线上传输并通过返回路径返回的总的环路电感等于Ltotal=1nsec x 50Ohms=50nH，分布在6inch长度上，单位长度的电感等于50nH/6inch=8.3nH/inch。

这些与传输线相关的电容、电感、特性阻抗和介电常数相关的关系适用于任何传输线。他们不对横截面几何形状做出任何假设。它们是非常强大的工具，可以帮助我们使用现有的近似值或场求解器来估计这些项中的一项或多项。如果我们知道任何两个，我们总能找到其他的。

人们很容易将这种传输线的 LC 模型视为代表真实传输线的行为方式。例如，如果我们忽略电感，我们可能会将实际传输线视为一些电容。当由驱动器的输出阻抗驱动时，我们不会看到传输线的 RC 充电时间吗？

事实上，真正的传输线不仅仅是一个电容器，甚至不仅仅是一个电感器；它是分布式 LC 互连。正是相邻的 L 和 C，在显微镜下尺寸很小，将这种互连转变为一种新的行为。进入互连的快速边沿在整个互连中保持此上升时间。

随着快速边沿的传播，传输线看不到电容和通过 RC 对其充电的需要，也看不到 L 和较慢的上升时间作为 L/R。相反，它看到了支持任何上升时间信号的瞬时阻抗的全新涌现特性。传输线看起来不像信号边沿的 L 或 C；它看起来像一个电阻元件。

可以计算传输线互连中的总电容和总环路电感，但将传输线仅视为 C 或 L 是不正确的。它们永远连接在一起，并且这两个元素同样重要。

当然，这个集总电路 LC 阶梯模型只是一个近似值。不要根据 LC 梯形模型来考虑真实的传输线，而是重新校准工程直觉，将传输线视为全新的理想电路元件，具有支持任何上升时间信号的新的快速行为，一旦启动就会看到瞬时阻抗。