【数据结构】- 初识数据结构之时间复杂度(上)

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前言

努力不是为了和别人一较高下 而是为了让生活多一种可能 别让世俗淹没生活的浪漫和热情.
C语言告一段落本章开始我们要学习数据结构，本章是关于数据结构之时间复杂度(上)

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、什么是数据结构

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

二、什么是算法

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

三、算法效率

3.1如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列

long long Fib(int N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

3.2算法复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度

四、时间复杂度

4.1时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
例题一：请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
	++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数 ：

                                   - F(N)=N²+2*N+10

• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 1002010

我们发现N越大，后面项对结果影响越小所以这个时间复杂度是O(N²)

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

4.2大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

• N = 10 F(N) = 100
• N = 100 F(N) = 10000
• N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

4.3常见时间复杂度计算举例

例题一：计算Func2的时间复杂度？

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

解析：
基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
例题二：计算Func3的时间复杂度？

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++ k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

解析：
我们发现这段代码中有M也有N，我们不能说M或者N无限大，N或者M就不重要了，基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，所以这段代码时间复杂度是O(N+M)
例题三：计算Func4的时间复杂度？

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

解析：
我发现代码中虽然有N但是并没有用只用了100，基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1);
O(1)不是代表1次，是代表常数次
例题四：计算strchr的时间复杂度？

const char * strchr ( const char * str, int character );
//上述一行代码类似于
while(*str)
{
	if(*str==character)
		return str;
	else
		str++:
}

解析：
strchr() 用于查找字符串中的一个字符，并返回该字符在字符串中第一次出现的位置。
strchr() 其原型定义在头文件 中, char *strchr(const char *str, int c) 在参数 str 所指向的字符串中搜索第一次出现字符 c（一个无符号字符）的位置。
基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)
例题五：计算BubbleSort(冒泡排序)的时间复杂度？

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
		break;
	}
}

解析：
冒泡排序准确来说是一个等差数列，基本操作执行最好N次，最坏执行了(N(N+1)/2)次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)*
例题六：计算BinarySearch(二分查找 )的时间复杂度？

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n-1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end-begin)>>1);
		if (a[mid] < x)
		begin = mid+1;
		else if (a[mid] > x)
		end = mid-1;
		else
		return mid;
	}
	return -1;
}

解析：
基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) (logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN)。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）;每找一次/2假设找了x次，那么2^x=N ->x=logN(以2为底)；但是如果我们采用暴力查找也就是顺序查找需要遍历数组那么时间复杂度就是O(N)
例题七：计算阶乘递归Fac的时间复杂度？

long long Fac(size_t N)
{
	if(0 == N)
	return 1;
	return Fac(N-1)*N;
}

解析：

通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。
例题八：计算阶乘递归Fac的时间复杂度？

long long Fac(size_t N)
{
	if(0 == N)
	return 1;
	for(size_t i=0; i<N;i++)
	{
		//...
	}
	return Fac(N-1)*N;
}

解析：
时间复杂度为O(N^2)。
例题九：计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？

long long Fib(size_t N)
{
	if(N < 3)
	return 1;
	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

解析：
计算分析发现基本操作递归了2^ N次，时间复杂度为O(2^N)。

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总结

Ending,今天的时间复杂度的内容就到此结束啦~，如果后续想了解更多，就请关注我吧，一键三连哦 ~