Leetcode.2513 最小化两个数组中的最大值
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Leetcode.2513 最小化两个数组中的最大值 Rating ： 2302
题目描述
给你两个数组 a r r 1 arr1 arr1 和 a r r 2 arr2 arr2 ，它们一开始都是空的。你需要往它们中添加正整数，使它们满足以下条件：
- a r r 1 arr1 arr1 包含 u n i q u e C n t 1 uniqueCnt1 uniqueCnt1 个 互不相同 的正整数，每个整数都 不能 被 d i v i s o r 1 divisor1 divisor1 整除 。
- a r r 2 arr2 arr2 包含 u n i q u e C n t 2 uniqueCnt2 uniqueCnt2个 互不相同 的正整数，每个整数都 不能 被 d i v i s o r 2 divisor2 divisor2 整除 。
- a r r 1 arr1 arr1 和 a r r 2 arr2 arr2 中的元素 互不相同 。
给你 d i v i s o r 1 ， d i v i s o r 2 ， u n i q u e C n t 1 和 u n i q u e C n t 2 divisor1 ，divisor2 ，uniqueCnt1 和 uniqueCnt2 divisor1，divisor2，uniqueCnt1和uniqueCnt2 ，请你返回两个数组中 最大元素 的 最小值 。
示例 1：
输入：divisor1 = 2, divisor2 = 7, uniqueCnt1 = 1, uniqueCnt2 = 3
输出：4
解释：
我们可以把前 4 个自然数划分到 arr1 和 arr2 中。
arr1 = [1] 和 arr2 = [2,3,4] 。
可以看出两个数组都满足条件。
最大值是 4 ，所以返回 4 。
示例 2：
输入：divisor1 = 3, divisor2 = 5, uniqueCnt1 = 2, uniqueCnt2 = 1
输出：3
解释：
arr1 = [1,2] 和 arr2 = [3] 满足所有条件。
最大值是 3 ，所以返回 3 。
示例 3：
输入：divisor1 = 2, divisor2 = 4, uniqueCnt1 = 8, uniqueCnt2 = 2
输出：15
解释：
最终数组为 arr1 = [1,3,5,7,9,11,13,15] 和 arr2 = [2,6] 。
上述方案是满足所有条件的最优解。
提示：
- 2 < = d i v i s o r 1 , d i v i s o r 2 < = 1 0 5 2 <= divisor1, divisor2 <= 10^5 2<=divisor1,divisor2<=105
- 1 < = u n i q u e C n t 1 , u n i q u e C n t 2 < 1 0 9 1 <= uniqueCnt1, uniqueCnt2 < 10^9 1<=uniqueCnt1,uniqueCnt2<109
- 2 < = u n i q u e C n t 1 + u n i q u e C n t 2 < = 1 0 9 2 <= uniqueCnt1 + uniqueCnt2 <= 10^9 2<=uniqueCnt1+uniqueCnt2<=109
解法：二分 + 容斥原理
技巧：一般题目出现 最大 最小，多半正解就是二分。
我们做出如下定义：
- 定义 A A A 是不能被 d i v i s o r 1 divisor1 divisor1整除，但是可以被 d i v i s o r 2 divisor2 divisor2 整除的数，也就是只能放在 a r r 1 arr1 arr1 中的数，即 x / d i v i s o r 2 − x / l c m ( d i v i s o r 1 , d i v i s o r 2 ) x / divisor2 - x/lcm(divisor1,divisor2) x/divisor2−x/lcm(divisor1,divisor2)
- 定义 B B B 是不能被 d i v i s o r 2 divisor2 divisor2整除，但是可以被 d i v i s o r 1 divisor1 divisor1 整除的数，也就是只能放在 a r r 2 arr2 arr2 中的数，即 x / d i v i s o r 1 − x / l c m ( d i v i s o r 1 , d i v i s o r 2 ) x / divisor1 - x/lcm(divisor1,divisor2) x/divisor1−x/lcm(divisor1,divisor2)
- 定义 C C C 是既不能被 d i v i s o r 1 divisor1 divisor1整除，也不能被 d i v i s o r 2 divisor2 divisor2 整除的数，也就是 a r r 1 和 a r r 2 arr1 和 arr2 arr1和arr2 都可以放的数，即 x − x / d i v i s o r 1 − x / d i v i s o r 2 + x / l c m ( d i v i s o r 1 , d i v i s o r 2 ) x - x /divisor1 - x / divisor2 +x/lcm(divisor1,divisor2) x−x/divisor1−x/divisor2+x/lcm(divisor1,divisor2)
对于 u n i q u e C n t 1 , u n i q u e C n t 2 uniqueCnt1, uniqueCnt2 uniqueCnt1,uniqueCnt2 我们先使用 A A A 和 B B B 的数字，等到使用结束，还需要数字的时候，再使用共享的 C C C 中的数字。
u n i q u e C n t 1 , u n i q u e C n t 2 uniqueCnt1, uniqueCnt2 uniqueCnt1,uniqueCnt2 使用完 A A A 和 B B B 的数字后，各自还剩 c n t 1 和 c n t 2 cnt1 和 cnt2 cnt1和cnt2：
- c n t 1 = m a x { u n i q u e C n t 1 − A , 0 } cnt1 = max\{ uniqueCnt1 - A , 0\} cnt1=max{uniqueCnt1−A,0}
- c n t 2 = m a x { u n i q u e C n t 2 − B , 0 } cnt2 = max\{ uniqueCnt2 - B , 0\} cnt2=max{uniqueCnt2−B,0}
接下来再判断共享的 C C C 的中数字数量是否大于 c n t 1 + c n t 2 cnt1 + cnt2 cnt1+cnt2，即 C ≥ c n t 1 + c n t 2 C \geq cnt1 + cnt2 C≥cnt1+cnt2。
左边界 l = 2 l = 2 l=2 ；右边界 r = ( u n i q u e C n t 1 + u n i q u e C n t 2 ) ∗ 2 r = (uniqueCnt1 +uniqueCnt2 )*2 r=(uniqueCnt1+uniqueCnt2)∗2。
时间复杂度： O ( l o g r ) O(logr) O(logr)
C++代码：
using LL = long long;
class Solution {
public:
int minimizeSet(int d1, int d2, int uniqueCnt1, int uniqueCnt2) {
LL l = 2 , r = 2 * 1LL * (uniqueCnt1 + uniqueCnt2);
LL lc = lcm<LL>(d1,d2);
while(l < r){
LL mid = (l + r) >> 1;
//能被 d2 整除，但是不能被 d1 整除的数
LL a = mid / d2 - mid / lc;
//能被 d1 整除，不能被 d2 整除的数
LL b = mid / d1 - mid / lc;
//既不能被 d1 也不能被 d2 整除的数，即共享的数
LL c = mid - mid/d1 - mid/d2 + mid/lc;
LL cnt1 = max(uniqueCnt1 - a,0LL) , cnt2 = max(uniqueCnt2-b,0LL);
if(c >= cnt1 + cnt2) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return (int)l;
}
};