线性变换和矩阵

矩阵

一个m×n的矩阵是一个由m行（row）n列（column）元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字元素构成的2行3列的矩阵

2*3

矩阵算法

基本算法
矩阵的最基本运算包括矩阵加（减）法，数乘和转置运算。被称为“矩阵加法”、“数乘”和“转置”的运算不止一种，其中最基本最常用的定义如下：

基本算法

矩阵的加法运算满足交换律：A + B = B + A。矩阵的转置和数乘运算对加法满足分配律：

分配率

而转置和数乘运算满足类似于结合律的规律：

结合律

矩阵乘法
两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数(column)和另一个矩阵B的行数(row)相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积AB是一个m×p矩阵，它的一个元素

矩阵乘法

其中1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
例如

矩阵乘法例子

矩阵的乘法满足结合律和对矩阵加法的分配律（左分配律和右分配律）：

• 结合律：(AB)C = A(BC),
• 左分配律：(A + B)C = AC + BC,

• 右分配律：C(A + B) = CA + CB.
  矩阵的乘法与数乘运算之间也满足类似结合律的规律；与转置之间则满足倒置的分配律。
  c(AB) = (cA)B = A(cB)
  (AB)T = BT * AT
  矩阵乘法不满足交换律。一般来说，矩阵A及B的乘积AB存在，但BA不一定存在，即使存在，大多数时候AB ≠ BA。比如下面的例子：

  
  
  矩阵乘法

拓展-克罗内克积

图片.png

定义

表示为：

定义

例子：

例子

线性变换与矩阵

如果V和W是有限维的，并且在这些空间中有选择好的基，则从V到W的所有线性映射可以被表示为矩阵。反过来说，矩阵生成线性映射的例子：如果A是实数的m×n矩阵，则规定 f(x) = Ax描述一个线性映射Rⁿ → R^m。
一个单一的线性映射可以由很多矩阵表示。这是因为矩阵的元素的值依赖于选择的基。
基就是决定线性变换的关键。
总的来说，线性变换就是一种空间变换方法，变换时，网格线会保持平行且等距分布，原点也会保持不变，变换可描述为几个基向量移动后所处的坐标所组成的矩阵，矩阵的列就是向量的坐标

变换矩阵

一些典型的2维实平面上的线性变换对平面矢量（图形）造成的效果，以及它们对应的2维矩阵。其中每个线性变换将蓝色图形映射成绿色图形；平面的原点(0, 0)用黑点表示：

变换实例