第五章 插值与逼近-笔记与总结

5.1 引言

5.1.1 插值问题

已知函数$f（x）$在【a，b】上n+1个互异点$x_0，x_1，...，x_n$处的函数值和导数值
$$\begin{gathered} f(x_0),f^{\prime }(x_0),...,f^{({\alpha }_0-1)}(x_0) \\ f(x_1),f^{\prime }(x_1),...,f^{({\alpha }_1-1)}(x_1) \\ ... \\ f(x_n),f^{\prime }(x_n),...,f^{({\alpha }_n-1)}(x_n)\text{\hspace{1em}(5-1)} \end{gathered}$$

其中${\alpha }_i$为正整数，构造一个简单易算的函数p（x），使其满足下述条件：

$$p^{({\mu }_i)}(x_i)=f^{({\mu }_i)}(x_i),{\mu }_i=0,1,...{\alpha }_i-1;i=0,1,...,n\text{\hspace{1em}(5-2)}$$
以上问题称为插值问题， $x_0，x_1，...，x_n$称为插值节点，
$p（x）$称为$f（x）$关于节点组$x_0，x_1，...，x_n$的插值函数
（5-2）为插值条件，$f（x）$为被插值函数

5.1.2 插值函数的存在唯一性、插值基函数

定义5.1 设${\phi }_0(x)，{\phi }_1(x)，...，{\phi }_n(x)$是【a,b】上的函数，并且对【a,b】上的任意n+1个互异点$x_0，x_1，...，x_n$，行列式
$$D[x_0，x_1，...，x_n]=\left|\begin{array}{ccccc}{\phi }_0(x_0)& {\phi }_1(x_0)& ...& {\phi }_n(x_0)& \\ {\phi }_0(x_1)& {\phi }_1(x_1)& ...& {\phi }_n(x_1)& \\ ..& & & & \\ {\phi }_0(x_n)& {\phi }_1(x_n)& ...& {\phi }_n(x_n)& \end{array}\right|\ne 0$$
则称${\phi }_0(x)，{\phi }_1(x)，...，{\phi }_n(x)$在【a,b】满足Haar条件。
定理5.1
推论5.1
推论5.2
定理5.2

5.2 多项式插值与Hermite插值

5.2.1 Lagrange插值公式

Lagrange插值基函数
Lagrange插值多项式

5.2.2 Newton插值公式

定义5.2

5.2.3 插值余项

定理5.3

5.2.4 Hermite插值

定理5.4

5.2.5 分段低次插值

5.3 三次样条插值

5.3.1 样条函数

定义5.3
定理5.5
定理5.6

5.3.2 三次样条插值及其收敛性

5.4 B-样条函数

5.5 正交函数族在逼近中的应用