学习日记 | 穿越千年，走进《几何原本》

对几何的学习和逻辑思维的训练有助于“心思细密”。

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——1.30更新——

第1卷

定义

从给出的定义中，以下几点让我体会到逻辑性：

1.先定义了直角，在定义了钝角和锐角。

2.有了直角、钝角、锐角，由此定义了三种三角形。

公理

公理中有一条很有趣——彼此能重合的物体是全等的。

【注】之前学习全等这个概念的时候，往往从部分上去考察了（边角），没有想到从整体（重合）上去考查。

命题

所给出的48个命题中，找了一些有意思的。

命题2

命题6

【注】证明中用到了反证法。

命题9

【注】这道题的构造很妙啊。关键的一个是把那个等边三角形构造出来，然后用三边相等证明全等。

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——2.1更新——

命题12

【注】过一点做一条直线的垂线?You've got to be kidding.

在做很多数学证明题的时候，也会也同样的疑惑。这个不是显然的吗？还需要证？一页纸都证不完？

就是这种“显然”，让我们失去了思考的机会。我们的显然都是建立在前人的结论上的。因此，前人也比我们更聪明，有更多开创新的发明创造。

这道题不是用直尺比着画这么简单，你只能借助直尺度量长度。

在直线给定点的另一侧随意取一点，以给定点为圆心，两点的长度为半径画圆，交于直线上两点。两点的连线是圆的一条弦，取该弦的中点，此点与给定点的连线即为该直线的垂线。

证明过程用到了全等，两相邻角即为相等的领角，为直角。

命题17

我们知道三角形内角和为180°，则其中任意两个角之和小于180°，即小于两直角。

这里的证明并没有用这种直观的方法，它是循序渐进地用了外角和内对角来证。因为命题16给出了在任意三角形中，若延长一边，则外角大于任何一个内对角。有了这个命题，证明命题17就非常容易了。

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——2.3更新——

命题27

【注】这里的证明用到了外角大于内对角这个结论，并且采用了反证法。当一些结论正面不好证明时，采用反证的方法。

命题20

【注】这里用了几何中常用的构造方法——等量替换。把不共线的BA、AC转化成共线的BA、AD。再将同一三角形内的BD、BC相比较。

命题31

【注】又是一道作图题。用内错角相等两直线平行这个命题做出的平行线。

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——2.5更新——

命题35

值得一提的是，这里的相等是指面积相等（图形相等用的是全等表述）。这个命题的证明很巧妙，用三角形全等剪一块再加一块得到要证明的两个平行四边形。用到的公理2、3就是等量加减等量依然是等量。

命题39/40

这两个命题属于一个大类的，区别是一个是同底，一个是等底（底相等，但不重合）。用到了我们的老朋友——反证法。做与底平行的线，根据平行线间的等底、同底的三角形相等的命题得证，否定的关键就是大不等于小。

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——  2.6更新——

命题47/48

好家伙，今天跟大家分享的两个命题都和大名鼎鼎的勾股定理有关。其中定理47就是希腊人所谓的毕达哥拉斯定理（勾股定理）。

我们先看更简单的定理48。

定理48的证明用到了三角形全等（用三边相等判定）。先构造一个直角三角形，可以用命题47的结论了，证明中边相等也就是正方形相等这个转换关系用到了很多次，非常关键。

下面来看勾股定理的证明。

要证明这个命题，首先得知道一个结论，那就是命题41（如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在而平行线之间，则平行四边形是这个三角形的两倍）。该命题的宿主是四个两对平行四边形，中间宿主是四个两对全等的三角形。这样一捋，证明中为什么这样构造的思路就清楚了。

【写在后面】

很开心一起走过这一卷~~~在上写文更多是因为没有认识的人，可以更放得开一些！虽然大多时候是自言自语，但是如果这些内容能帮助到哪怕一个人，或者对一个人有点用，本姑娘也很开心啦！在这个待在家里可能有点无聊的自己，让自己变得有话聊吧。

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——2.10更新——

第2卷

命题

这章的命题少，但个个都有难度。就从最长的这个下手吧。

(꒪ꇴ꒪(꒪ꇴ꒪ ;)哈?WHAT？题目都读不清楚？

画图。一条线段AB被C 平分，又被D分成不等的两段。则在AD、DB上的正方形的和等于AC、CD上正方形的和的两倍。

题意弄明白了，来证证看吧！

证明中的关键是勾股定理，两直角边上正方形的和等于斜边上正方形的和。还有一个推论，是等腰直角三角形斜边上正方形等于每个直角边上正方形的两倍。（两直角边相等）

构造如上图所示等腰直角三角形，于是有：（注：EF表示EF边上的正方形）

①EA=2AC②EF=2CD

于是有AE+EF=(AC+CF)*2。

又③AE+EF=AF④AF=AD+DF

于是有AD+DF=(AC+CF)*2。

又⑤DF=DB

于是有AD+DB=(AC+CF)*2，得证。

当然，这里最先说明直角关系及边相等关系也是不可缺少的。

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©一颗斯特拉

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