集合划分、集合覆盖

划分与覆盖的定义（set covering & set partitioning）

文字描述：
若把一个集合$A$分成若干个叫做分块的非空子集，使得$A$中的每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做$A$的一个覆盖。
如果$A$中的每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做$A$的一个划分。
数学描述：
给定$A$为非空集合，$S=\{S_1,S_2,\cdot \cdot \cdot ,S_m\}$，其中$S_i\subseteq A,S_i\ne \varnothing ,i=1,\cdot \cdot \cdot ,m$且${\cup }_{i=1}^m{S}_i=A$，则集合$S$为称作集合$A$的覆盖。
若除以上条件外，另有$S_i\cap S_j\ne \varnothing$，则称$S$是$A$的划分。

例

对于$A=\{a,b,c\}$，考虑一下集合：
$S=\{\{a,b\},\{a,c\}\}$，则$S$是$A$的覆盖。
$Q=\{\{a\},\{a,b\},\{a,c\}\}$，则$Q$是$A$的覆盖。
$P=\{\{a\},\{b,c\}\}$，则$P$是$A$的覆盖，也是$A$的划分。
$G=\{\{a,b,c\}\}$，则$G$是$A$的覆盖，也是$A$的划分。
$E=\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$，则$E$是$A$的覆盖，也是$A$的划分。
$F=\{\{a\},\{a,c\}\}$，则$F$既不是覆盖，也不是划分。