文字描述:
若把一个集合 A A A分成若干个叫做分块的非空子集,使得 A A A中的每个元素至少属于一个分块,那么这些分块的全体构成的集合叫做 A A A的一个覆盖。
如果 A A A中的每个元素属于且仅属于一个分块,那么这些分块的全体构成的集合叫做 A A A的一个划分。
数学描述:
给定 A A A为非空集合, S = { S 1 , S 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , S m } S=\{S_1,S_2,···,S_m\} S={S1,S2,⋅⋅⋅,Sm},其中 S i ⊆ A , S i ≠ ∅ , i = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , m S_i \subseteq A,S_i \neq \varnothing, i=1,···,m Si⊆A,Si=∅,i=1,⋅⋅⋅,m且 ∪ i = 1 m S i = A \cup_{i=1}^mS_i=A ∪i=1mSi=A,则集合 S S S为称作集合 A A A的覆盖。
若除以上条件外,另有 S i ∩ S j ≠ ∅ S_i \cap S_j \neq \varnothing Si∩Sj=∅,则称 S S S是 A A A的划分。
对于 A = { a , b , c } A=\{a,b,c\} A={a,b,c},考虑一下集合:
S = { { a , b } , { a , c } } S=\{\{a,b\},\{a,c\} \} S={{a,b},{a,c}},则 S S S是 A A A的覆盖。
Q = { { a } , { a , b } , { a , c } } Q=\{\{a\},\{a,b\},\{a,c\}\} Q={{a},{a,b},{a,c}},则 Q Q Q是 A A A的覆盖。
P = { { a } , { b , c } } P=\{\{a\},\{b,c\} \} P={{a},{b,c}},则 P P P是 A A A的覆盖,也是 A A A的划分。
G = { { a , b , c } } G=\{\{a,b,c\} \} G={{a,b,c}},则 G G G是 A A A的覆盖,也是 A A A的划分。
E = { { a } , { b } , { c } } E=\{\{a\},\{b\},\{c\}\} E={{a},{b},{c}},则 E E E是 A A A的覆盖,也是 A A A的划分。
F = { { a } , { a , c } } F=\{\{a\},\{a,c\} \} F={{a},{a,c}},则 F F F既不是覆盖,也不是划分。