060202体积弧长-定积分在几何学上的应用-定积分的应用

2 体积

2.1 旋转体的体积

情形①平面图形由$y=f(x),y=0,x=a,x=b$所围成，其绕x轴一周所得旋转体的体积，如下图2.1-1所示：

$$\begin{gathered} 解：积分变量x，积分区间[a,b] \\ \begin{array}{rl}& dv=\pi f^2(x)\mathrm{d}x\\ & v=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x\end{array} \end{gathered}$$
②平面图形由$x=g(y),x=0,y=c,y=d$所围成，其绕y轴选择一周所得旋转体体积，如下图2.1-2所示：

$$\begin{gathered} 解：积分变量y，积分区间[d,c] \\ \begin{array}{rl}& dv=\pi g^2(y)dy\\ & v=\pi {\int }_d^c{g}^2(y)dy\end{array} \end{gathered}$$
③平面图形由$y=f(x),y=0,x=a,x=b$所围成，其绕y轴旋转一周所得的体积，如下图2.1-3所示：

• 计算方式

  • 方式一：紫色体积=大圆柱体积-绿色体积，很麻烦

  $$解：V=\pi b^{2}f(b)-\pi a^{2}f(a)-{\int }_a^b{f}^{-1}(y)dy$$

  • 方式二（推荐）：柱壳法，如下图2.1-4所示：

    • 分析：$[a,b]任取一小段x到x+dx$，其绕y轴旋转一周，任意位置将其沿y轴剪开，即为下面图行所示的长方体$f(x),2\pi x,dx$
      $$\begin{gathered} 解：积分变量x，积分区间[a,b]，柱壳法计算 \\ \begin{array}{rl}& dv=2\pi xf(x)dx\\ & v=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx\end{array} \end{gathered}$$

④平面图像由$x=f(x),x=g(x),x=a,x=b$所围成，其绕x轴旋转一周的旋转体体积，如下2.1-5所示：

$$\begin{gathered} 解：绕x轴旋转 \\ v=\pi {\int }_a^b|f^2(x)-g^2(x)|dx \end{gathered}$$
⑤平面图像由$x=f(y),x=g(y),y=a,y=b$所围成，其绕y轴旋转一周的旋转体体积，如下2.1-6所示：

$$\begin{gathered} 绕y轴旋转 \\ v=\pi {\int }_a^b|f^2(y)-g^2(y)|dy \end{gathered}$$
⑥ $1^{°}由y=f(x),y=0,x=a,x=b$所围图形绕$x=c,y=d$旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-7所示：

$$\begin{gathered} 解：柱壳法，当c<a时，dv=2\pi (x-c)f(x)dx,v=2\pi {\int }_a^b(x-c)f(x)dx \\ 当c>a时，v=2\pi {\int }_a^b(c-x)dx \\ \therefore v=2\pi {\int }_a^b|x-c|f(x)dx \\ 图形绕y=d旋转时，v=\pi |{\int }_a^b[f(x)-d{]}^2-d^2|dx \end{gathered}$$
$2^{°}由y=f(x),y=g(x),x=a,x=b$所围成图形绕$x=c,y=d$旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-8所示：

$$\begin{gathered} 解：绕x=c所得旋转体体积： \\ v=2\pi {\int }_a^b|(x-c)[f(x)-g(x)]|dx \\ 绕y=d所得旋转体体积： \\ v=\pi {\int }_a^b|[f(x)-d{]}^2-[g(x)-d{]}^2|dx \end{gathered}$$
$3^{°}由x=g(y),x=0,y=c,y=d$所围图形绕$x=a,y=b$旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-9所示：

$$\begin{gathered} 解：绕x=a体积v=\pi {\int }_c^d|[g(y)-a{]}^2-a^2|dy \\ 绕y=b体积v=2\pi {\int }_c^d|y-b|g(y)dy \end{gathered}$$
$4°由x=\xi (y),y=\varphi (y),y=c,y=d$所围图形绕$x=a,x=b$旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-10所示：

$$\begin{gathered} 解：绕x=a体积v=\pi {\int }_c^d|[\xi (y)-a{]}^2-[\varphi (y)-a{]}^2|dx \\ 绕y=b体积v=2\pi {\int }_c^d|y-b|[\xi (y)-\varphi (y)]dy \end{gathered}$$

2.2 平行截截面面积已知的立体的体积

一般，设有立体位于x轴上$a,b点之间，\forall x\in [a,b]$过x点的立体截面面积已知为A(x),求物体体积，如下图2.2-1所示：

$$解：v={\int }_a^{b}A(x)dx$$

2.3 例题

例1 连接坐标原点0及点p(h,r)的直线直线x=h及x轴围成的直角三角形绕x轴一周所得圆锥体的体积，如下图2.3-1所示：

$$\begin{gathered} 解：去x为积分变量，积分区间[0,h],则 \\ v={\int }_0^h\pi (x\frac{r}{h}{)}^{2}dx=\frac{r^2}{h^2}\pi {\int }_0^h{x}^{2}dx \\ =\frac{\pi r^{2}h}{3} \end{gathered}$$
例2 计算椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$所围图形绕$x$轴一周所围成旋转体的体积，如下图2.3-2所示：

$$\begin{gathered} 解：由图纸椭球体左右对称，我们计算x>0的部分 \\ y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}},去x为积分变量，变化区间为[0,a] \\ v=2{\int }_0^a\pi y^{2}dx=2\pi {\int }_0^a(b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}{)}^{2}dx \\ =2b^2\pi {\int }_0^a(1-\frac{x^2}{a^2})dx=\frac{4}{3}a{b}^2\pi \end{gathered}$$
注：

• 如果绕y轴旋转所得旋转体体积为：$\frac{4}{3}\pi a^{2}b$

例3 有摆线
$$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}的一拱与y=0所围成图形$$
分别绕x,y轴旋转所得旋转体的体积,如下图2.3-3所示：

$$\begin{gathered} 解：绕x轴旋转，取积分变量x，变化区间为[0,2\pi a] \\ v={\int }_0^{2\pi a}\pi y^{2}dx=\pi {\int }_0^{2\pi }{a}^2(1-\cos t{)}^{2}d[a(t-\sin t)] \\ =\pi a^3{\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^{3}dt=\pi a^3{\int }_0^{2\pi }(1-3\cos t+3{\cos }^{2}t-{\cos }^{3}t)dt \\ =\pi a^3(2\pi -0+12\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-0)=5{\pi }^2{a}^3 \\ 绕y轴旋转体，柱壳法，取积分变量x，变化区间[0,2\pi a] \\ v={\int }_0^{2\pi a}2\pi xf(x)dx=2\pi {\int }_0^{2\pi }a(t-\sin t)\cdot a(1-\cos t)d[a(t-\sin t)] \\ =2\pi a^3{\int }_0^{2\pi }(t-\sin t-2t\cos t+2\sin t\cos t-\sin t{\cos }^{2}t+t{\cos }^{2}t)dt \\ =6{\pi }^3{a}^3 \end{gathered}$$

例4 求由圆$(x-2{)}^2+y^2=1绕x=-1$旋转而成旋转体的体积，如下图2.3-4所示：

$$\begin{gathered} 解：方法一，积分变量取y，积分区间[-1,1] \\ v={\int }_{-1}^1[\pi (2+\sqrt{1-y^2}+1{)}^2-\pi (2-\sqrt{1-y^2}+1{)}^2]dx \\ =2\pi {\int }_0^{1}6\cdot 2\sqrt{1-y^2}dy=24\pi (\frac{y}{2}\sqrt{1-y^2}+\frac{1}{2}\arcsin x){|}_0^1=6{\pi }^2 \\ 方法二,积分变量取x，积分区间[1,3] \\ v={\int }_1^{3}2\pi (x+1)\cdot 2\sqrt{1-(x-2{)}^2}dx=4\pi {\int }_1^3(x+1)\sqrt{1-(x-2{)}^2})dx \\ 令x-2=sint,t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}] \\ v=4\pi {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\sin t+3){\cos }^{2}tdt=0+24\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}tdt=6{\pi }^2 \end{gathered}$$

例5 一平面经过半径为R的圆柱体底圆中心且与底面之角为$\alpha$，计算平面截圆柱体所得立体的体积，如下图2.3-5所示：

$$\begin{gathered} 解：取平面与圆柱体地面交线为x轴，地面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴，那么底原方程x^2+y^2=R^2 \\ A(x)=\frac{1}{2}\sqrt{R^2-x^2}\cdot \sqrt{R^2-x^2}\cdot \tan \alpha \\ v=\frac{1}{2}\tan \alpha {\int }_{-R}^R(R^2-x^2)dx=\tan \alpha {\int }_0^R(R^2-x^2)dx \\ =\frac{2}{3}{R}^3\tan \alpha \end{gathered}$$
例6 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积，如下图所示：

$$\begin{gathered} 解：取底圆所在平面为xoy平面，圆心o为原点，并使x轴与正劈锥的顶平行。底圆方程x^2+y^2=R^2 \\ A(x)=\sqrt{R^2-x^2}h \\ v={\int }_{-R}^{R}A(x)dx=2h{\int }_0^R\sqrt{R^2-x^2}dx=\frac{\pi R^{2}h}{2} \end{gathered}$$

3 平面曲线的弧长

已知一平面曲线$y=f(x),x\in [a,b],f(x)$具有一阶连续导，求该曲线弧KaTeX parse error: Undefined control sequence: \overparen at position 1: \̲o̲v̲e̲r̲p̲a̲r̲e̲n̲{AB}的长度，如下图3-1所示：

复习：弧微分$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$

以下我们省略求定积分的过程分隔、取近似值、求和、求极限

2.1 直接坐标系

弧长$s={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{{}^{\prime }}{)}^2}dx$

例1 求$y=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$上相应于从$a到b$的一段弧的长度，如下图2.1-1所示：

$$解：弧长s={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{{}^{\prime }}{)}^2}dx={\int }_a^b\sqrt{1+x}dx=\frac{2}{3}(1+x{)}^{\frac{3}{2}}{|}_a^b=\frac{2}{3}[(1+b{)}^{\frac{3}{2}}-(1+a{)}^{\frac{3}{2}}]$$
例2 计算半立方抛物线$y^2=\frac{2}{3}(x-1{)}^3$被抛物线$y^2=\frac{x}{3}$截得的一段弧的长度，如下图2.1-2所示：

$$\begin{gathered} 解：方程组\{\begin{array}{ll}& y^2=\frac{2}{3}(x-1{)}^3,\\ & y^2=\frac{x}{3}\end{array}的x=2,y=\pm \frac{\sqrt{6}}{3} \\ s={\int }_1^2\sqrt{1+(y^{{}^{\prime }}{)}^2}dx={\int }_1^2\sqrt{1+\frac{3}{2}(x-1)}dx \\ =\frac{8}{9}[{\frac{5}{2}}^{\frac{3}{2}}-1] \end{gathered}$$

2.2 参数方程

设曲线$y=f(x)的参数方程为$
$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\xi (t)\end{array},(\alpha <t<\beta )$$
在$[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数。

则$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{[{\varphi }^{{}^{\prime }}(t){]}^2+[{\xi }^{{}^{\prime }}(t){]}^2}$

​ $s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[{\varphi }^{{}^{\prime }}(t){]}^2+[{\xi }^{{}^{\prime }}(t){]}^2}dt$

例题 计算摆线
$$\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )\end{array}$$
的一拱$(0\le \theta \le 2\pi )$的长度,如下图2.2-1所示：

$$\begin{gathered} 解：s={\int }_0^{2\pi }\sqrt{(x^{{}^{\prime }}{)}^2+(y^{{}^{\prime }}{)}^2}d\theta ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{a^2(1-\cos \theta {)}^2+a^2{\sin }^2\theta }d\theta \\ =\sqrt{2}a{\int }_0^{2\pi }\sqrt{1-\cos \theta }d\theta =8a \end{gathered}$$

2.3 极坐标系

设曲线极坐标方程为$\rho =\rho (\theta ),(\alpha <\theta <\beta )$。其中$\rho =\rho (\theta )在[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数。

则直接坐标系参数方程是
$$\{\begin{array}{l}x=\rho (\theta )\cdot \cos \theta \\ y=\rho (\theta )\cdot \sin \theta \end{array},(\alpha <\theta <\beta )$$
弧长元素：$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}d\theta =\sqrt{{\rho }^2(\theta )+({\rho }^{{}^{\prime }}(\theta ){)}^2}d\theta$

弧长：$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\rho }^2(\theta )+({\rho }^{{}^{\prime }}(\theta ){)}^2}d\theta$

例题：求阿基米德螺线$\rho =a\theta (a>0)$相应于$\theta 从0到2\pi$的弧长，如下图2.3-1所示：

$$\begin{gathered} 解：s={\int }_0^{2\pi }\sqrt{{\rho }^2(\theta )+({\rho }^{{}^{\prime }}(\theta ){)}^2}d\theta \\ ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{a^2{\theta }^2+a^2}d\theta =\frac{a}{2}[2\pi \sqrt{1+4{\pi }^2}+\ln (2\pi +\sqrt{1+4{\pi }^2})] \end{gathered}$$

结语

❓QQ:806797785

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p276-286.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p39.