float数据存储与转换：简单易懂

前言

float数据是如何存储的，很多时候我不必关心过多的细节，但是有时候又很重要，了解一些计算机的基础知识，也是趣味无穷。

float数据的存储结构

float占用4个字节Byte，一共32bit。

计算机中只有“0”和“1”，那么如何用0”和“1”表示浮点呢。
IEEE标准中，将32bit的内存分为3个部分。

• 0~22bit，长度为23个bit，用M表示（Mantissa，小数部分）
• 23~30bit，长度为8个bit，用E表示（Exponent，指数部分）
• 31bit，最高位，只有1个bit，用S表示（Sign，符号）

那么浮点数的换算公式如下，就是科学计数法的表示方式。
$D=S\ast (1+M)\ast 2^{(E-127)}$-------(1)

• S 很好理解，就是正号+或者符号-。
• E也很好理解，就是8个bit的二进制数对应的无符号整数，比如00000011b表示0x03=3，10100110b表示0xA6=166.
• M理解稍难一些，因为涉及到二进制小数。假设在22bit的前面有一个小数点，那么需要把小数点后面的二进数转换为小数。比如$0.101b=1\ast 2^{-1}+0\ast 2^{-2}+1\ast 2^{-3}=1/2+0+1/8=0.625$

二进制转float

可以计算S、E、M后，就可以计算对应的浮点数据。
直接举例说明吧，下图中，S = 0，E = 127， M = 0.625，带入公式（1）中：
$D=(+1)\ast (1+0.625)\ast 2^{(127-127)}=1.625$

再来一个例子，下图中，S=-1， E=129，E=0.625，带入公式（1）中：
$D=(-1)\ast (1+0.625)\ast 2^{(129-127)}=1.625\ast 4=6.5$

不管其它任何的数据，都可以按照上述方法计算，如果还不会，再看一遍。

float转二进制

float转二进制，就是上述计算逆运算，注意到公式（1）中M要加上1了吗？
对公式（1）进行变形，M写左边。因为$S=1/S$，所以有
$M=\frac{S\ast D}{2^{(E-127)}}-1$ --------（2）
这个公式中，除了符号位S外，仅仅只有D是已知的，如何求另外2个未知数呢？
这里要遵循2个原则

• 先确定E，再确定M；
• 确定E的方法是：让$\frac{D}{2^{(E-127)}}$恰好是1.xxxx的形式，也就是这个数据的整数部分**必须是1，不能是0，也不能是2，或者其他。**E确定下来后，M也可以计算出来了。

还是举例说明，把13.25进行转换。

• 首先13.25的整数部分不是1，需要进行换算，需要除8，也就是$2^3=2^{E-127}$，所以E=130=0x82
• 13.25/8=1.65625=1+M，所以M=0.65625=0.10101b

所以有S=1，E=130，M=0.10101b，如下图所示。

再来一个例子，把-0.20703125进行转换，S=-1。

• 首先0.20703125的整数部分不是1，需要进行换算，需要乘8，也就是除1/8，也就是$2^{-3}=2^{E-127}$，所以E=124=0x7C
• 0.20703125*8=1.65625=1+M，所以M=0.65625=0.10101b

所以有S=-1，E=124，M=0.10101b，如下图所示。

上述是关于float的介绍，double数据的转换就依葫芦画瓢吧，这里就不啰嗦了。

参考链接

float和二进制换算的计算器
https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

扩展链接

FLT_EPFILION定义以及原理
https://frama-c.com/2013/05/09/Definition-of-FLT_EPSILON.html