poj 2480 Longge's problem 积性函数

思路：首先给出几个结论：

1.gcd(a,b)是积性函数；

2.积性函数的和仍然是积性函数；

3.phi(a^b)=a^b-a^(b-1);

记 f(n)=∑gcd(i,n),n=p1^e1*p2^e2……;

则 f(n)=∑d*phi(n/d) (d是n的约数)

          =∑(pi*ei+pi-ei)*pi^(ei-1).

代码如下：

 

 1 #include<iostream>

 2 #include<cstdio>

 3 #include<cmath>

 4 #include<algorithm>

 5 #include<cstring>

 6 #include<set>

 7 #include<vector>

 8 #define ll __int64

 9 #define M 50005

10 #define inf 1e10

11 #define mod 1000000007

12 using namespace std;

13 int prime[M],cnt;

14 bool f[M];

15 void init()

16 {

17     cnt=0;

18     memset(f,0,sizeof(f));

19     for(int i=2;i<M;i++){

20         if(!f[i]) prime[cnt++]=i;

21         for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<M;j++){

22             f[i*prime[j]]=1;

23             if(i%prime[j]==0) break;

24         }

25     }

26 }

27 ll pows(ll a,ll b)

28 {

29     ll ans=1;

30     while(b){

31         if(b&1) ans*=a;

32         b>>=1;

33         a*=a;

34     }

35     return ans;

36 }

37 ll dfs(ll n)

38 {

39     ll ans=1,j;

40     for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++){

41         if(n%prime[i]==0){

42             j=1;

43             n/=prime[i];

44             while(n%prime[i]==0){

45                 j++;

46                 n/=prime[i];

47             }

48             ans*=(ll)(prime[i]*j-j+prime[i])*pows(prime[i],j-1);

49         }

50     }

51     if(n>1) ans*=(ll)(2*n-1);

52     return ans;

53 }

54 int main()

55 {

56     ll n;

57     init();

58     while(scanf("%I64d",&n)!=EOF){

59         printf("%I64d\n",dfs(n));

60     }

61     return 0;

62 }

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