一元三次方程 (codevs 1038)题解

【问题描述】

     有形如:ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a,b,c,d均为实数),并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间),且根与根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格),并精确到小数点后2位。提示:记方程f(x)=0,若存在2个数x1和x2,且x1<x2,f(x1)*f(x2)<0,则在(x1,x2)之间一定有一个 根。

【样例输入】

    1 -5 -4 20

【样例输出】

   -2.00 2.00 5.00

【解题思路】

     本题为NOIP2001 提高组第二题,可用两种方法解决,枚举/二分,但老师改了一下数据,将保留2位改为了保留4位,导致枚举会超时,无奈之下用了二分……这里还是讲保留2位小数。题目中的提示已经完完全全告诉了我们思路,设f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d,若用枚举,从-100开始,每次加0.01,按题目说明,如果f(x-0.005)*f(x+0.005)<0,那么,x即是答案(题目要求保留两位小数,只需write的时候加上:0:2即可,无需再判断x),或者f(x)本身就等于0,x也是答案。详见代码。

   下面为二分题解。

      二分是由分治策略引申的一种解题方法,比枚举会更快一些,所谓二分,就是将题目从中间分为两个部分,再对左右两边的分问题进行解答,将最终答案递归回来即可。

      提示又给了我们很好的思路,这就是典型的二分了。如果f(x1)*f(x2)<0或者x1+1>x2,那么就从中间分为两个部分,为什么是或者呢?题目中说根与根的差的绝对值>=1,因此,如果我们找的两个数的差大于1,那么有可能这两个数中间不止存在一个解,因此也需要二分,利用这个特性,我们可以之间将-100与100二分。终止条件:(f(x)=0)or((x1+0.001>x2)and(f(x1)*f(x2)<0)这里的终止条件与枚举不同,但原理是一样的同样是因为需要保留两位小数,因此需要判断三位。详见代码。

【代码实现】

var a,b,c,d,x:real;

    w:integer;

function f(x1:real):real;

begin

 f:=a*x1*x1*x1+b*x1*x1+c*x1+d;

end;

begin

 x:=-100;

 readln(a,b,c,d);

 repeat

  x:=x+0.01;

  if (f(x)=0) or (f(x-0.005)*f(x+0.005)<0) then//注意这里的条件,有两种情况都算作根

   begin

    write(x:0:2,'  ');

    inc(w);

   end;

 until w=3;

end.
枚举法
 1 var a,b,c,d:double;

 2     i:longint;

 3 function js(x:double):double;

 4 begin

 5  js:=a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;

 6 end;

 7 procedure try(x1,x2:double);

 8 var x0,y0,y1,y2:double;

 9 begin

10  x0:=(x1+x2)/2;

11  y0:=js(x0);y1:=js(x1);y2:=js(x2);

12  if (y0=0)or((x1+0.001>x2)and(y1*y2<0))then//满足条件,输出

13   begin

14    write(x0:0:2,' ');

15    exit;

16   end;

17  if (y1*y0<0)or(x0-x1>1) then//注意题中说了两个解之间的差的绝对值>=1,所以递归的条件不只是单纯的f(x1)*f(x0)<0

18   try(x1,x0);

19  if (y0*y2<0)or(x2-x0>1) then

20   try(x0,x2);

21 end;

22 begin

23  readln(a,b,c,d);

24  try(-100,100);

25 end.
二分法

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