求圆周率pi的怪异程序 祖冲之圆周率算法绝技之迷

据说华罗庚曾讲过一个故事，说：有个教书先生喜欢喝酒，一天，他叫学生背圆周率，自己却提壶酒到山上庙里找老和尚喝酒去了。有个聪明的学生把圆周率编了个打油诗“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃；酒杀尔杀不死，乐尔乐”。其实是3.1415926535897932384626的谐音。先生一回来，学生居然背了下来，可一想，发现学生是在讽刺他。 究其“山巅一寺一壶酒”的来历，众所周之，可上溯至南北朝时的祖冲之(429—500年)，当时获得的结果是圆周率在3.1415926与3.1415927之间。 那么，祖冲之是怎么算出来的呢？ 《隋书·律历志》记载，祖冲之所用的方法叫“缀术”，并说祖冲之“所著之书名为《缀术》，学官莫能究其深奥”。传说唐时此书为朝庭钦定教科书，后来《缀术》失传。从而祖冲之的神奇算法成为千古之迷。 作为猜测，华先生曾说“他的算法也是极限的最好说明，他从单位圆的内接正六边形和外切正六边形出发……再作内接的和外切的正12边形、正24边形……边数愈多, 内接的和外切的正6·2n－1边形的面积就愈接近圆的面积,由此可以逐步地精确地算出圆周的长度。”内接和外切正多边形的方法是阿基米德的“穷竭法”。 但仔细一想，用“穷竭法”来算也是有问题的。要得到祖率的精度，需要算正24576边形，也就是从正六边形出发要剖分12次，即同一算法要迭代12次，在用算筹的手工年代要完成如此浩大的计算量其困难是很大的，也可能是很能难实现的。 于是，钱宝琮先生在主编《中国数学史》时猜测采用了与刘徽割圆术相仿的方法，钱先生猜测说：“祖冲之钻研了《九章算术》刘徽注之后，认为数学还应该有所发展，他写成了数十篇专题论文，附缀于刘徽注的后面，叫它‘缀述’。” “缀”有附着之意，故华中王能超先生同意钱先生的观点，认为“缀术”实际上是《九章算术》刘徽注的“祖冲之注”。但“缀术”决不是“缀述”。 然而，“缀”又有拼合、组合之意，故“缀术”可能是刘徽割圆术的组合之术。 王先生坚信“缀术”是割圆术的组合之术，并由此发现了“缀术”是与当今外推算法相类似的一种加速算法，祖冲之肯定是用这种加速算法减少了迭代次数，解决了计算量大的困难。这种加速算法的智慧是阿基米德穷竭法所不能比的。果真如此的话，王先生就破译了缀术的千古疑案，所以林群先生讲“我认为王教授的发现是数学史上的重大事件”。 那么，该如何“组合”呢？ 从圆内接正六边形做起，第一次割得正12边形，用S(12)记其面积，刘徽称其为“觚之幂”，于是得： S(12)，S(24)， S(48)， S(96)，S(192)，…… 刘徽称多边形的面积为幂，而称偏差 A(n)=S(2n)－S(n) 为差幂，并给出了双侧逼近公式，即圆面积介于S(2n)与S(2n)＋A(n)之间，由此给出了一个计算圆面积的近似实例： 由此得到圆周率为3.1416，将此实例写成公式就是： 圆面积≈S(2n)＋c[S(2n)－S(n)] 即是现代的组合加速技术，其关键是系数c的选取。为此，刘徽在割圆术中说了一句人称“十字文”的话：“以十二觚之幂为率消息”，一千多年来让多少行家费尽思量也不解其迷。王先生从刘徽的思想方式与语言行文特征出发，认为是人们传抄之误，实应为“以十二觚之幂率为消息”，意为系数c的消息在十二觚之幂率中。十二觚之幂率为 D(12)＝A(12)/A(24)＝[S(24)－S(12)]/[S(48)－S(24)]＝3.95 可得系数c＝1/(3.95－1)＝1/2.95，这是刘徽的伟大之处，也是刘徽与3.1415926失之交臂而把更精致的结果留给了200年后的老祖的原因。如果把 D(12)、D(24)、D(48)、D(96) 都算出来，就会发现它们稳定在4.0上，从而系数c＝1/3。如果取c＝1/3，只需算到正96边形的S(96)和正192边形的S(192)，再利用加速公式就可以得到3.141592646，这时只需要迭代5次而不是12次，也不需要算到正24576边形，大概这就是老祖的绝技之迷。 公元前300年，阿基米德为得到3.14，已经割到正96边形了，如果他老先生知道如何跑得快一点就能喝到一壶酒了，没有离“山巅一寺一壶酒”的一步之遥了。 这一绝技在现代已不重要了，在大学本科的计算方法中只是很简单的外推加速技术。所以，著名的克莱因在《古今数学思想》自叙称：“为着不使资料漫无边际，我忽略了几种文化，例如中国的文化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大的影响。” 如果再问一个问题：老刘和老祖在那个时代是怎么想到加速与c＝1/3的？ 一个比较靠得住的猜想是，他们是从数字的分析中直觉地感悟到的，在逻辑上不是从分析逻辑上得到的，而是从直觉逻辑上得到的。有人把这类直觉、感悟叫做智慧。擅长数学主流分析逻辑的西方数学家伊恩·斯图尔特说：“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起。受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。”他更是一语道破了数学的真谛：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”。 无独有偶，迪瓦多内也说：“这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活生生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓‘直觉’”。 也许对数学主流思想产生重大影响的恰好是人类的直觉思维，这才是今天人们仍然尊敬刘徽与祖冲之的原因。 如何让数学家经常带点直觉的灵感呢，德国数学家维尔斯特拉斯说：“不带点诗人味的数学家，绝不是一个完美的数学家。” 所以，一个完美而又简单的修练方法就是到学人亭来。   2004年，获王能超先生慧赠《千古绝技“割圆术”——刘徽的大智慧》，谨以此文答谢。   引言    网上流传着一个怪异的求pi程序，虽然只有三行却能求出pi值连小数点前共800位。这个程序如下： /*某年Obfuscated C Contest佳作选录:*/  #include < stdio.h> long a=10000, b, c=2800, d, e, f[2801], g;  main(){ for(;b-c;)f[b++]=a/5;  for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)  for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b); }  /* (本程式可算出pi值连小数点前共800位)  (本程式录自sci.math FAQ,原作者未详)*/  咋一看，这程序还挺吓人的。别慌，下面就告诉你它是如何做到的，并且告诉你写怪异C程序的一些技巧。^_^ 展开化简    我们知道，在C语言中，for循环和while循环可以互相代替。    for(statement1;statement2;statement3){      statements;    } 上面的for语句可以用下面的while语句来代替：    statement1;    while(statement2){      statements;      statement3;    } 而且要写怪异的C程序，逗号运算符无疑是一个好的助手，它的作用是：  从左到右依次计算各个表达式的值，并且返回最右边表达式的值。 把它嵌入for循环中是写怪异代码的常用技巧之一。所以，上面的程序可以展开为：  #include < stdio.h> /*1*/ /*2*/ long a=10000, b, c=2800, d, e, f[2801], g; /*3*/ main(){ /*4*/    while(b-c!=0){ /*5*/      f[b]=a/5; /*6*/      b++; /*7*/      } /*8*/    d=0; /*9*/    g=c*2; /*10*/    while(g!=0){ /*11*/      b=c; /*12*/      d+=f[b]*a; /*13*/      f[b]=d%--g; /*14*/      d=d/g--; /*15*/      --b; /*16*/      while(b!=0){ /*17*/          d=d*b+f[b]*a; /*18*/          f[b]=d%--g; /*19*/          d=d/g--; /*20*/          --b; /*21*/          } /*22*/      c-=14; /*23*/      printf("%.4d",e+d/a); /*24*/      e=d%a; /*25*/      d=0; /*26*/      g=c*2; /*27*/      } /*28*/    } /*29*/ 现在是不是好看一点了？ 进一步化简    你应该能注意到a的值始终是10000，所以我们可以把a都换成10000。再就是，仔细观察g，在外层循环中，每次循环用它做除法或取余时，它总是等于2*c-1，而b总是初始化为c。在内层循环中，b每次减少1，g每次减少2。你这时会想到了吧？用2*b-1代替g！代进去试试，没错！另外，我们还能做一点化简，第26行的d=0是多余的，我们把它合并到第13行中去，第13行可改写为： d=f[b]*a;　。所以程序可以改为：  #include < stdio.h> long b, c=2800, d, e, f[2801];  main(){    while(b-c!=0){      f[b]=2000;      b++;      }    while(c!=0){      b=c;      d=f[b]*10000;      f[b]=d%(b*2-1);      d=d/(b*2-1);      --b;      while(b!=0){          d=d*b+f[b]*10000;          f[b]=d%(b*2-1);          d=d/(b*2-1);          --b;          }      c-=14;      printf("%.4d",e+d/10000);      e=d%10000;      }    }  少了两个变量了! 深入分析    好了，马上进入实质性的分析了。一定的数学知识是非常有必要的。首先,必须知道下面的公式可以用来求pi: pi/2=1+1!/3!!+2!/5!!+3!/7!!+...+k!/(2*k+1)!!+... 只要项数足够多，pi就有足够的精度。至于为什么，我们留给数学家们来解决。    写过高精度除法程序的人都知道如何用整数数组来进行除法用法，而避免小数。其实很简单，回想一下你是如何徒手做除法的。用除数除以被除数，把得数放入结果中，余数乘以10后继续做下一步除法，直到余数是零或达到了要求的位数。    原程序使用的数学知识就那么多,之所以复杂难懂是因为它把算法非常巧妙地放到循环中去了。我们开始具体来分析程序。首先，我们从数学公式开始下手。我们求的是pi，而公式给出的是pi/2。所以，我们把公式两边同时乘以2得:    pi=2*1+2*1!/3!!+2*2!/5!!+2*3!/7!!+...+2*k!/(2*k+1)!!+... 接着，我们把它改写成另一种形式,并展开：    pi=2*1+2*1!/3!!+2*2!/5!!+2*3!/7!!+...+2*n!/(2*n+1)!!    =2*(n-1)/(2*n-1)*(n-2)/(2*n-3)*(n-3)/(2*n-5)*...*3/7*2/5*1/3              +2*(n-2)/(2*n-3)*(n-3)/(2*n-5)*...*3/7*2/5*1/3                        +2*(n-3)/(2*n-5)*...*3/7*2/5*1/3                                    +2*3/7*2/5*1/3                                      +2*2/5*1/3                                        +2*1/3                                          +2*1 对着公式看看程序，可以看出，b对应公式中的n，2*b-1对应2*n-1。b是从2800开始的，也就是说n=2800。（至于为什么n=2800时,能保证pi的前800位准确不在此讨论范围。）看程序中的相应部分：  d=d*b+f[b]*10000; f[b]=d%(b*2-1); d=d/(b*2-1); d用来存放除法结果的整数部分，它是累加的，所以最后的d将是我们要的整数部分。而f[b]用来存放计算到b为止的余数部分。    到这里你可能还不明白。一是，为什么数组有2801个元素？很简单，因为作者想利用f[1]~f[2800]，而C语言的数组下标又是从0开始的，f[0]是用不到的。二是，为什么要把数组元素除了f[2800]都初始化为2000？10000有什么作用？这倒很有意思。因为从printf("%.4d",e+d/10000); 看出d/10000是取d的第4位以前的数字，而e=d%10000;　，e是d的后4位数字。而且，e和d差着一次循环。所以打印的结果恰好就是我们想要的pi的相应的某4位！开始时之所以把数组元素初始化为2000，是因为把pi放大1000倍才能保证整数部分有4位，而那个2就是我们公式中两边乘的2！所以是2000！注意，余数也要相应乘以10000而不是10！f[2800]之所以要为0是因为第一次乘的是n-1也就是2799而不是2800!每计算出4位，c都要相应减去 14，也就保证了一共能够打印出4*2800/14=800位。但是，这竟然不会影响结果的准确度！本人数学功底不高，无法给出确切答案。（要是哪位达人知道，请发email到[email protected]告诉我哦。）    偶然在网上见到一个根据上面的程序改写的“准确”（这个准确是指没有漏掉f[]数组中的的任何一个元素。）打印2800位的程序，如下：  long b,c=2800,d,e,f[2801],g; int main(int argc,char* argv[]) {    for(b=0;b        f[b] = 2;    e=0;    while(c > 0)    {      d=0;      for(b=c;b>0;b--)      {          d*=b;          d+=f[b]*10;          f[b]=d%(b*2-1);          d/=(b*2-1);      }      c-=1;      printf("%d",(e+d/10)%10);      e=d%10;    }    return 0; }  不妨试试把上面的程序压缩成3行。 结论    以Knuth图灵演讲中的一句话结束全文：  We have seen that computer programming is an art, because it applies accumulated knowledge to the world, because it requires skill and ingenuity, and especially because it produces objects of beauty. A programmer who subconsciously views himself as an artist will enjoy what he does and will do it better.  与大家共勉！^_^