随机抽样/蓄水库抽样

【问题】

随机抽样问题表示如下：

要求从N个元素中随机的抽取k个元素，其中N无法确定。

这种应用的场景一般是数据流的情况下，由于数据只能被读取一次，而且数据量很大，并不能全部保存，因此数据量N是无法在抽样开始时确定的；但又要保持随机性，于是有了这个问题。所以搜索网站有时候会问这样的问题。

这里的核心问题就是“随机”，怎么才能是随机的抽取元素呢？我们设想，买彩票的时候，由于所有彩票的中奖概率都是一样的，所以我们才是“随机的”买彩票。那么要使抽取数据也随机，必须使每一个数据被抽样出来的概率都一样。

【解决】

解决方案就是蓄水库抽样（reservoid sampling）。主要思想就是保持一个集合（这个集合中的每个数字出现），作为蓄水池，依次遍历所有数据的时候以一定概率替换这个蓄水池中的数字。

其伪代码如下：

Init : a reservoir with the size： k
        for    i= k+1 to N
            M=random(1 , i);
            if( M < k)
                 SWAP the Mth value and ith value
       end for

解释一下：程序的开始就是把前k个元素都放到水库中，然后对之后的第i个元素，以k/i的概率替换掉这个水库中的某一个元素。

下面来具体证明一下：每个水库中的元素出现概率都是相等的。

【证明】

（1）初始情况。出现在水库中的k个元素的出现概率都是一致的，都是1。这个很显然。

（2）第一步。第一步就是指，处理第k+1个元素的情况。分两种情况：元素全部都没有被替换；其中某个元素被第k+1个元素替换掉。

我们先看情况2：第k+1个元素被选中的概率是k/(k+1)（根据公式k/i），所以这个新元素在水库中出现的概率就一定是k/(k+1)（不管它替换掉哪个元素，反正肯定它是以这个概率出现在水库中）。下面来看水库中剩余的元素出现的概率，也就是1-P(这个元素被替换掉的概率)。水库中任意一个元素被替换掉的概率是：(k/k+1)*(1/k)=1/(k+1)，意即首先要第k+1个元素被选中，然后自己在集合的k个元素中被选中。那它出现的概率就是1-1/(k+1)=k/(k+1)。可以看出来，旧元素和新元素出现的概率是相等的。

情况1：当元素全部都没有替换掉的时候，每个元素的出现概率肯定是一样的，这很显然。但具体是多少呢？就是1-P(第k+1个元素被选中)=1-k/(k+1)=1/(k+1)。

（3）归纳法：重复上面的过程，只要证明第i步到第i+1步，所有元素出现的概率是相等的即可。参见：http://wansishuang.javaeye.com/blog/443902