每日一题之打家劫舍

打家劫舍

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你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 400

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这道题目的本质是求一个数组中不相邻元素的最大和。我们可以用动态规划的方法来解决这个问题。动态规划的核心是找出状态转移方程，即如何从已知的子问题的解得到更大的子问题的解。

我们定义dp[i]表示从第0个房屋到第i个房屋能够偷窃到的最高金额，那么我们可以得到以下状态转移方程：

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])

这个方程的意思是，对于第i个房屋，我们有两种选择：要么不偷，那么最高金额就是dp[i-1]；要么偷，那么最高金额就是dp[i-2]加上当前房屋的金额nums[i]。我们取两者中的较大值作为dp[i]。

由于dp[i]只和dp[i-1]和dp[i-2]有关，所以我们不需要用一个数组来存储所有的dp值，只需要用两个变量来记录前两个状态即可。这样可以节省空间复杂度。

根据题目的提示，我们还需要考虑数组为空或只有一个元素的情况。这些情况下，我们直接返回0或nums[0]即可。

def rob(nums):
    # 如果数组为空，返回0
    if not nums:
        return 0
    # 如果数组只有一个元素，返回该元素
    if len(nums) == 1:
        return nums[0]
    # 初始化前两个状态
    prev = 0 # dp[-1]
    curr = nums[0] # dp[0]
    # 遍历数组，更新状态
    for i in range(1, len(nums)):
        # 计算当前状态
        temp = max(curr, prev + nums[i])
        # 更新前两个状态
        prev = curr
        curr = temp
    # 返回最后一个状态
    return curr