https://blog.csdn.net/m0_56069948/article/details/122285951
https://blog.csdn.net/m0_56069948/article/details/122285941
本部分内容系汽车理论第五章第三节,我做了一点整理和总结。
二自由度最开始是指侧向与横摆两个自由度。
下图是一个车辆坐标系下,车辆存在六个自由度:
那么,如何将汽车的自由度限制到两个呢?
汽车理论给出了如下假设:
上面两个假设限定了四个自由度,剩下的就是沿y轴的侧向运动和绕z轴的横摆运动,这就是汽车的二自由度。
下图是经典的简化得到的两轮汽车模型。质心为O,左边的是后轮,距离质心"轴距"为b;右边是前轮,距离质心"轴距"为a。汽车要向左转。
那么,为什么可以简化成下面的模型?主要假设是三条
图中三处蓝色线是车辆坐标系,全平面是大地坐标系。右下的两处车辆坐标系是t和t+Δt时刻的,汽车左转,质心向左运动,
左上角的车辆坐标系比较特殊,是用来分析使用的。虚线的x、y坐标轴是t时刻的,蓝色线的速度是t+Δt时刻的。t时刻到t+Δt时刻,沿该坐标系y轴速度分量变化为
(v+Δv)cosΔθ−v+(u+Δu)sinΔθ(v+Δv)cosΔθ−v+(u+Δu)sinΔθ(v+Δv)cosΔ\theta-v+(u+Δu)sinΔ\theta
由于ΔθΔθΔ\theta很小,所以有
cosΔθ≈1,sinΔθ≈Δθ≈0cosΔθ≈1,sinΔθ≈Δθ≈0cosΔ\theta\approx1,
sinΔ\theta\approxΔ\theta\approx0
如果再忽略二阶微量,那么沿该坐标系x轴速度分量变化可以化简为
Δv+uΔθΔv+uΔθΔv+uΔ\theta
上式除以Δt,并且取极限,便是汽车质心绝对加速度在车辆坐标系Oy轴的分量
ay=dvdt+udθdt=v⋅+uwray=dvdt+udθdt=v·+uwra_y=\frac{dv}{dt}+u\frac{d\theta}{dt}=\overset{·}{v}+uw_r
这里的wrwrw_r是横摆角速度。
下面是对该模型的一些说明:
汽车受到的外力沿y轴方向的合力与绕质心的力矩和为:
{∑FY=FY1cosδ+FY2∑MZ=αFY1cosδ−bFY2{∑FY=FY1cosδ+FY2∑MZ=αFY1cosδ−bFY2\begin{cases}
\sum F_Y = F_{Y1}cos\delta + F_{Y2}\
\sum M_Z = \alpha F_{Y1}cos\delta - bF_{Y2}
\end{cases}
考虑到δδ\delta较小,并且有FY1=k1α1FY1=k1α1F_{Y1}=k_1\alpha_1和FY2=k2α2FY2=k2α2F_{Y2}=k_2\alpha_2,所以上面的式子可以写成:
{∑FY=k1α1+k2α2∑MZ=αk1α1−bk2α2{∑FY=k1α1+k2α2∑MZ=αk1α1−bk2α2\begin{cases}
\sum F_Y = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\
\sum M_Z = \alpha k_1\alpha_1- bk_2\alpha_2
\end{cases}
航向角可以近似成前轮速度的正切。v向可以看成是相对于质心的速度矢量加上一个旋转的切向速度(理论力学的内容~)。表达如下式:
ξ≈tanξ=v+awru=β+awruξ≈tanξ=v+awru=β+awru\xi \approx tan\xi = \frac{v+a w_r}{u}=\beta+\frac{a w_r}{u}
于是可以表达前、后轮的侧偏角:
⎧⎩⎨⎪⎪α1=−(δ−ξ)=β+awru−δα2=v−bwru=β−bwru{α1=−(δ−ξ)=β+awru−δα2=v−bwru=β−bwru\begin{cases}
\alpha_1=-(\delta-\xi)=\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta\
\alpha_2=\dfrac{v-bw_r}{u}=\beta-\dfrac{bw_r}{u}
\end{cases}
由此,可以得到汽车外力、外力矩和汽车运动参数的关系:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∑FY=k1(β+awru−δ)+k2(β−bwru)∑MZ=αk1(β+awru−δ)−bk2(β−bwru){∑FY=k1(β+awru−δ)+k2(β−bwru)∑MZ=αk1(β+awru−δ)−bk2(β−bwru)\begin{cases}
\sum F_Y = k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)+k_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})\
\sum M_Z = \alpha k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)- bk_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})
\end{cases}
联立运动学和动力学方程,有:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪k1(β+awru−δ)+k2(β−bwru)=m(v⋅+uwr)αk1(β+awru−δ)−bk2(β−bwru)=IZwr⋅{k1(β+awru−δ)+k2(β−bwru)=m(v·+uwr)αk1(β+awru−δ)−bk2(β−bwru)=IZwr·\begin{cases}
k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)+k_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})=m(\overset{·}{v}+uw_r)\
\alpha k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)- bk_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})=I_Z\overset{·}{w_r}
\end{cases}
其中IZIZI_Z为汽车绕z轴的转动惯量,wr⋅wr·\overset{·}{w_r}为汽车横摆角加速度。
整理可得二自由度汽车运动微分方程式:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(k1+k2)β+1u(ak1−bk2)wr−k1δm(v⋅+uwr)(ak1−bk2)β+1u(a2k1+b2k2)wr−ak1δ=IZwr⋅{(k1+k2)β+1u(ak1−bk2)wr−k1δm(v·+uwr)(ak1−bk2)β+1u(a2k1+b2k2)wr−ak1δ=IZwr·\begin{cases}
(k_1+k_2)\beta+\dfrac{1}{u}(ak_1-bk_2)w_r-k_1\delta==m(\overset{·}{v}+uw_r)\
(ak_1-bk_2)\beta+\dfrac{1}{u}(a2k_1+b2k_2)w_r-ak_1\delta=I_Z\overset{·}{w_r}
\end{cases}
该联立的方程式,包含了汽质量和轮胎侧偏刚度两方面的参数,能反映汽车运动曲线的基本特征。