数据结构学习记录——树习题-Complete Binary Search Tree(题目描述、输入输出示例、数据结构的选择、核心算法、计算左子树的规模)

目录

题目描述

输入示例

输出示例

数据结构的选择

核心算法

计算左子树的规模

思路

总结


题目描述

现给定一系列不同的非负整数键,如果要求构造出一颗完全二叉树,则可以构造唯一的二叉搜索树。输出此二叉搜索树的层序遍历序列。

完全二叉树

有n个节点的二叉树,对树中节点按从上至下、从左到右顺序进行编号,编号为i(1<= i <= n)节点与满二叉树中编号为i节点在二叉树中位置相同。

二叉搜索树

一颗二叉树,可以为空;如果不为空,满足一下性质:

1.非空左子树的所有键值小于其根节点的键值。

2.非空右子树的所有键值大于其根节点的键值。

3.左、右子树都是二叉搜索树。

输入示例

每个输入文件包含一个测试用例。

对于每种情况,第一行包含正整数N(≤ 1 0 0 0)。

然后下一行给出了 N个不同的非负整数键。一行中的所有数字都用空格分隔,不大于2000。

Sample Input:
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

输出示例

对于每个测试用例,在一行中打印相应的完全二叉搜索树的层序遍历序列。

一行中的所有数字必须用空格分隔,并且行的末尾不能有额外的空格。

Sample Output:
6 3 8 1 5 7 9 0 2 4

数据结构的选择

二叉树可以通过数组和链表来实现,我们现在要先确定一下用哪种数据结构来解决这道题目。

在之前的学习中,我们使用链表来实现二叉树的存储。因为在一些较为极端的情况下,二叉树可能向左或向右倾斜的程度比较大,这个时候使用数组来实现的话就会造成很大的空间浪费。这是从空间的一个角度来考虑的,而在遍历上,数组和链表两种实现方式都是差不多的。

现在看回这道题目,它需要进行的操作:

  • 填写数字(也属于某种遍历)
  • 层序遍历

在遍历的角度上来看,两种方式都差不多,所以不考虑了。

从空间的角度上来看,完全二叉树的情况下,数组是不会浪费空间的,故而还不能下定论。

最后看到遍历的方式,发现是层序遍历,这就意味着,如果使用数组实现,那么直接顺序输出就是其层序遍历的遍历序列;而链表的层序遍历需要借助队列来实现,显然更为复杂一点。

所以,我们选择数组来实现。

核心算法

void solve(int ALeft, int ARight, int TRoot)
{  
	 /*  初始调用为 solve(0, N - 1, 0) */
	n = ARight - ALeft + 1;
	if (n == 0)  
		return;
	L = GetLeftLength(n);  /*  计算出n个结点的树其左子树有多少个结点  */
	T[TRoot] = A[ALeft + L];
	LeftTRoot = TRoot * 2 + 1;
	RightTRoot = LeftTRoot + 1;
	solve(ALeft, ALeft + L - 1, LeftTRoot);
	solve(ALeft + L + 1, ARight, RightTRoot);
}

其中A为排序后的序列,我们需要对输入的序列进行排序,才能得到它, ALeft表示序列最左边的位置的下标,ARight则表示序列最右边的位置的下标。

T是我们求的结果树,TRoot就是结果树的根结点。

除了排序之外,还有一步重要的操作:计算左子树的结点个数,只有确定了左子树的结点个数,我们才能确定根结点以及右子树。

计算左子树的规模

思路

数据结构学习记录——树习题-Complete Binary Search Tree(题目描述、输入输出示例、数据结构的选择、核心算法、计算左子树的规模)_第1张图片

如图所示,完全二叉树的完美二叉树的部分可以用eq?2%5E%7BH%7D-1来表示其结点数,H为其中完美二叉树部分的层数。

接下来把剩余的几个结点个数设为X,总结点数设为N,就可以得到一个关系式:

eq?2%5E%7BH%7D-1%20+%20X%20%3D%20N

数据结构学习记录——树习题-Complete Binary Search Tree(题目描述、输入输出示例、数据结构的选择、核心算法、计算左子树的规模)_第2张图片 将公式整理成log形式,得:eq?H%20%3D%20%7Blog_%7B2%7D%7D%5E%7B%28N+1-X%29%7D

对于大规模的计算,X对整体的结果影响很小很小,我们把X忽略,故而有:eq?H%20%3D%20%7Blog_%7B2%7D%7D%5E%7B%28N%20+%201%29%7D

N是已知的,所以可以根据这个公式求出H;

继而代入eq?2%5E%7BH%7D-1%20+%20X%20%3D%20N求出X;

现在得到一整棵完全二叉树的结点数了,要怎么求其左子树的结点呢?

一棵完全二叉树的左子树也一定是一棵完全二叉树,所以可以知道其左子树的结点数应为:

eq?L%20%3D%202%5E%7BH%20-%201%7D%20+%20X

数据结构学习记录——树习题-Complete Binary Search Tree(题目描述、输入输出示例、数据结构的选择、核心算法、计算左子树的规模)_第3张图片

你以为,这样就完了吗?

看一下另外一种情况,我们就会发现目前的X还不是最正确的X:

数据结构学习记录——树习题-Complete Binary Search Tree(题目描述、输入输出示例、数据结构的选择、核心算法、计算左子树的规模)_第4张图片

很显然,这里的X已经不在左子树的范畴内了。

正确应该为:

数据结构学习记录——树习题-Complete Binary Search Tree(题目描述、输入输出示例、数据结构的选择、核心算法、计算左子树的规模)_第5张图片所以我们应该要对X的取值有一定的限制,或者说,X应该要有一定的范围。

可以考虑,当左子树为一棵完美二叉树时,X可以为0,也可以为eq?2%5E%7BH-1%7D

X为0的情况:

数据结构学习记录——树习题-Complete Binary Search Tree(题目描述、输入输出示例、数据结构的选择、核心算法、计算左子树的规模)_第6张图片

X为 eq?2%5E%7BH-1%7D的情况:数据结构学习记录——树习题-Complete Binary Search Tree(题目描述、输入输出示例、数据结构的选择、核心算法、计算左子树的规模)_第7张图片

总结

最后,总结一下计算左子树的规模:

第一步是通过公式eq?H%20%3D%20%7Blog_%7B2%7D%7D%5E%7B%28N%20+%201%29%7D求出H;

第二步是通过公式eq?2%5E%7BH%7D-1%20+%20X%20%3D%20N求出X;

第三步是选出正确的X,数据结构学习记录——树习题-Complete Binary Search Tree(题目描述、输入输出示例、数据结构的选择、核心算法、计算左子树的规模)_第8张图片

最后一步就是代入 eq?L%20%3D%202%5E%7BH%20-%201%7D%20+%20X求出我们最终的结果。


end


学习自:MOOC数据结构——陈越、何钦铭

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