7.6 曲面及其方程

作者简介:数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师,分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人!
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文章目录

  • 曲面的方程
  • 柱面
  • 旋转曲面
  • 二次曲面

曲面的方程

在空间解析几何中,关于曲面主要研究以下两个基本问题
①已知一曲面作为动点的轨迹,建立该曲面的方程;
②已知一曲面的方程,研究该曲面的几何形状。

  • 一种特殊曲面的方程——球面方程

一般地,设有三元二次方程
A x 2 + A y 2 + A z 2 + D x + E y + F z + G = 0 , \begin{align} Ax^{2}+Ay^{2}+Az^{2}+Dx+Ey+Fz+G=0, \end{align} Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0
该方程的缺点是缺 x y , y z , x z xy,yz,xz xy,yz,xz项,而且平方项的系数相同,它的图形就是一个球面。通过配方可得球面的标准方程.

本节将介绍常见的几种曲面——柱面、旋转曲面、二次曲面,其中旋转曲面是基本问题①的例子,而柱面和二次曲面则是基本问题②的例子.


柱面

  1. 定义

一般地,当一条动直线 L L L 沿着定曲线 C C C 移动,且移动时始终保持与定直线 L ′ L^{'} L 平行,则动直线 L L L 移动的轨迹所形成的曲面 S S S称为柱面. 这条定曲线 C C C 叫做柱面的准线,动直线 L L L叫做柱面的母线.

  1. 柱面形式

①一般地,在空间直角坐标系中,只含变量 x , y x,y x,y 而缺变量 z z z 的方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0,表示母线平行于 z z z轴,其准线为 x O y xOy xOy坐标面上的曲线 C C C的柱面.
②只含变量 x , z x,z x,z 而缺变量 y y y 的方程 G ( x , z ) = 0 G(x,z)=0 G(x,z)=0,表示母线平行于 y y y轴,其准线为 x O z xOz xOz坐标面上的曲线 C C C的柱面.
③只含变量 y , z y,z y,z 而缺变量 x x x 的方程 H ( y , z ) = 0 H(y,z)=0 H(y,z)=0,表示母线平行于 x x x轴,其准线为 y O z yOz yOz坐标面上的曲线 C C C的柱面.

  1. 例子
    平面方程: x − y = 0 x-y=0 xy=0
    圆柱面方程: x 2 + y 2 = R 2 x^{2}+y^{2}=R^{2} x2+y2=R2
    抛物柱面方程: y 2 = 2 p x y^{2}=2px y2=2px
    椭圆柱面方程: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \Large\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 a2x2+b2y2=1

旋转曲面

  1. 定义

以一条平面曲线 C C C绕该平面上的一条定直线旋转一周所形成的的曲面称为旋转曲面. 这条定直线称为旋转曲面的,曲线 C C C称为旋转曲面的母线.

  1. 旋转曲面形式
    这里只介绍旋转轴为同一坐标面内的坐标轴的简单情形.

①在 x O y xOy xOy坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0 x x x 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( x , ± y 2 + z 2 ) = 0. \begin{align} f(x,\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}})=0. \end{align} f(x,±y2+z2 )=0.
x O y xOy xOy坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0 y y y 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( ± y 2 + z 2 , y ) = 0. \begin{align} f(\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}},y)=0. \end{align} f(±y2+z2 ,y)=0.

②在 y O z yOz yOz坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 f(y,z)=0 f(y,z)=0 y y y 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y , ± x 2 + z 2 ) = 0. \begin{align} f(y,\pm\sqrt{x^{2}+z^{2}})=0. \end{align} f(y,±x2+z2 )=0.
y O z yOz yOz坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 f(y,z)=0 f(y,z)=0 z z z 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0. \begin{align} f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0. \end{align} f(±x2+y2 ,z)=0.

③在 x O z xOz xOz坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) = 0 f(x,z)=0 f(x,z)=0 x x x 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( x , ± y 2 + z 2 ) = 0. \begin{align} f(x,\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}})=0. \end{align} f(x,±y2+z2 )=0.
x O z xOz xOz坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) = 0 f(x,z)=0 f(x,z)=0 z z z 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0. \begin{align} f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0. \end{align} f(±x2+y2 ,z)=0.

  1. 例子
    圆锥面方程: z 2 = a ( x 2 + y 2 )     ( a = c o t α ) z^{2}=a(x^{2}+y^{2}) ~~~(a=cot\alpha) z2=a(x2+y2)   (a=cotα)
    注:这个表示坐标面 y O z yOz yOz上直线方程为 z = y c o t α z=ycot\alpha z=ycotα,旋转轴为 z z z 轴的圆锥面方程.

二次曲面

  1. 定义

在空间直角坐标系中,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.

对于球面、圆柱面等都是二次曲面,相应地称平面为一次曲面.

  1. 截痕法

二次曲面的性状通常采用的方法是截痕法,即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌.

  1. 几种二次曲面
  • 椭球面
    x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \begin{align} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \end{align} a2x2+b2y2+c2z2=1
    称为椭球面方程.

  • 椭圆抛物面
    x 2 2 p + y 2 2 q = z     ( p , q 同号 ) \begin{align} \frac{x^{2}}{2p}+\frac{y^{2}}{2q}=z ~~~(p,q同号) \end{align} 2px2+2qy2=z   (p,q同号)
    称为椭圆抛物面方程.

  • 双曲抛物面(马鞍面)
    − x 2 2 p + y 2 2 q = z     ( p , q 同号 ) \begin{align} -\frac{x^{2}}{2p}+\frac{y^{2}}{2q}=z ~~~(p,q同号) \end{align} 2px2+2qy2=z   (p,q同号)
    称为双曲抛物面方程.

  • 单叶双曲面
    x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \begin{align} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \end{align} a2x2+b2y2c2z2=1
    称为单叶双曲面方程.

  • 双叶双曲面
    x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 \begin{align} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \end{align} a2x2+b2y2c2z2=1
    称为双叶双曲面方程.


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