7.6 曲面及其方程
作者简介：数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师，分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人！
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⭐ 高等数学专栏介绍：本专栏系统地梳理高等数学这门课的知识点，参考书主要为经典的同济版第七版《高等数学》以及作者在高校使用的《高等数学》系统教材。梳理《高等数学》这门课，旨在帮助那些刚刚接触这门课的小白以及需要系统复习这门课的考研人士。希望自己的一些经验能够帮助更多的人。
文章目录
- 曲面的方程
- 柱面
- 旋转曲面
- 二次曲面
曲面的方程
在空间解析几何中，关于曲面主要研究以下两个基本问题：
①已知一曲面作为动点的轨迹，建立该曲面的方程；
②已知一曲面的方程，研究该曲面的几何形状。
- 一种特殊曲面的方程——球面方程
一般地，设有三元二次方程
A x 2 + A y 2 + A z 2 + D x + E y + F z + G = 0 ， \begin{align} Ax^{2}+Ay^{2}+Az^{2}+Dx+Ey+Fz+G=0， \end{align} Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0，
该方程的缺点是缺 x y , y z , x z xy,yz,xz xy,yz,xz项，而且平方项的系数相同，它的图形就是一个球面。通过配方可得球面的标准方程.
本节将介绍常见的几种曲面——柱面、旋转曲面、二次曲面，其中旋转曲面是基本问题①的例子，而柱面和二次曲面则是基本问题②的例子.
柱面
- 定义
一般地，当一条动直线 L L L 沿着定曲线 C C C 移动，且移动时始终保持与定直线 L ′ L^{'} L′ 平行，则动直线 L L L 移动的轨迹所形成的曲面 S S S称为柱面. 这条定曲线 C C C 叫做柱面的准线，动直线 L L L叫做柱面的母线.
- 柱面形式
①一般地，在空间直角坐标系中，只含变量 x , y x,y x,y 而缺变量 z z z 的方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0,表示母线平行于 z z z轴，其准线为 x O y xOy xOy坐标面上的曲线 C C C的柱面.
②只含变量 x , z x,z x,z 而缺变量 y y y 的方程 G ( x , z ) = 0 G(x,z)=0 G(x,z)=0,表示母线平行于 y y y轴，其准线为 x O z xOz xOz坐标面上的曲线 C C C的柱面.
③只含变量 y , z y,z y,z 而缺变量 x x x 的方程 H ( y , z ) = 0 H(y,z)=0 H(y,z)=0,表示母线平行于 x x x轴，其准线为 y O z yOz yOz坐标面上的曲线 C C C的柱面.
- 例子
平面方程: x − y = 0 x-y=0 x−y=0
圆柱面方程： x 2 + y 2 = R 2 x^{2}+y^{2}=R^{2} x2+y2=R2
抛物柱面方程： y 2 = 2 p x y^{2}=2px y2=2px
椭圆柱面方程： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \Large\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 a2x2+b2y2=1
旋转曲面
- 定义
以一条平面曲线 C C C绕该平面上的一条定直线旋转一周所形成的的曲面称为旋转曲面. 这条定直线称为旋转曲面的轴，曲线 C C C称为旋转曲面的母线.
- 旋转曲面形式
这里只介绍旋转轴为同一坐标面内的坐标轴的简单情形.
①在 x O y xOy xOy坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0绕 x x x 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( x , ± y 2 + z 2 ) = 0. \begin{align} f(x,\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}})=0. \end{align} f(x,±y2+z2)=0.
在 x O y xOy xOy坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0绕 y y y 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( ± y 2 + z 2 , y ) = 0. \begin{align} f(\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}},y)=0. \end{align} f(±y2+z2,y)=0.
②在 y O z yOz yOz坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 f(y,z)=0 f(y,z)=0绕 y y y 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y , ± x 2 + z 2 ) = 0. \begin{align} f(y,\pm\sqrt{x^{2}+z^{2}})=0. \end{align} f(y,±x2+z2)=0.
在 y O z yOz yOz坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 f(y,z)=0 f(y,z)=0绕 z z z 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0. \begin{align} f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0. \end{align} f(±x2+y2,z)=0.
③在 x O z xOz xOz坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) = 0 f(x,z)=0 f(x,z)=0绕 x x x 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( x , ± y 2 + z 2 ) = 0. \begin{align} f(x,\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}})=0. \end{align} f(x,±y2+z2)=0.
在 x O z xOz xOz坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) = 0 f(x,z)=0 f(x,z)=0绕 z z z 旋转一周的旋转曲面方程为
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0. \begin{align} f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0. \end{align} f(±x2+y2,z)=0.
- 例子
圆锥面方程： z 2 = a ( x 2 + y 2 ) ( a = c o t α ) z^{2}=a(x^{2}+y^{2}) ~~~(a=cot\alpha) z2=a(x2+y2) (a=cotα)
注：这个表示坐标面 y O z yOz yOz上直线方程为 z = y c o t α z=ycot\alpha z=ycotα，旋转轴为 z z z 轴的圆锥面方程.
二次曲面
- 定义
在空间直角坐标系中，三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
对于球面、圆柱面等都是二次曲面，相应地称平面为一次曲面.
- 截痕法
二次曲面的性状通常采用的方法是截痕法，即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线(截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌.
- 几种二次曲面
-
椭球面
x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \begin{align} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \end{align} a2x2+b2y2+c2z2=1
称为椭球面方程. -
椭圆抛物面
x 2 2 p + y 2 2 q = z ( p , q 同号 ) \begin{align} \frac{x^{2}}{2p}+\frac{y^{2}}{2q}=z ~~~(p,q同号) \end{align} 2px2+2qy2=z (p,q同号)
称为椭圆抛物面方程. -
双曲抛物面（马鞍面）
− x 2 2 p + y 2 2 q = z ( p , q 同号 ) \begin{align} -\frac{x^{2}}{2p}+\frac{y^{2}}{2q}=z ~~~(p,q同号) \end{align} −2px2+2qy2=z (p,q同号)
称为双曲抛物面方程. -
单叶双曲面
x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \begin{align} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \end{align} a2x2+b2y2−c2z2=1
称为单叶双曲面方程. -
双叶双曲面
x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 \begin{align} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \end{align} a2x2+b2y2−c2z2=−1
称为双叶双曲面方程.