1.4 关于图的东西

1.4图

与树一样，图也是非线性结构。图论有很多广泛的应用背景，有很多经典的算法。

1.4.1 图的基本概念

图可表示给G=（V，E），其中V是顶点（vertice）集合，顶点通常由名字或标号来表示；E是边（edge）的集合，E中的每条边都是V中某一堆顶点间的连接，表示为e=(vi,vj)。顶点数记为|E|.边数较少的图称为稀疏图，边数较多的图称为密集图。含由最多条边的图称为完全图。

若图的边限定为从一个顶点指向另一个顶点，则便成为有向边，否则称为无向边。无向边可看成是一堆方向相反的有向边。 若图中所含的边均是有向边，则图称为有向图。若图中所含的边均是无向边，则称为无向图。如果途中所含有向边，又含无向边，则将每条无向边转换为一对方向相反的有向边，图变为有向图。所有不同顶点间都是边相连的图称为完全图。

如果无向边e=(vi,vj)∈E，则称顶点vi和vj是邻接的，他们互称为邻接点，边e与顶点vi和vj相关联。

1.4.2 图的存储及基本操作

1.邻接矩阵法

对图G=（V，E），|V|=n,图的邻接矩阵是一个二维数组A[n][n] ，定义如下：A[i][j]={0,(vi,vj) 相反的一面1,(vi,vj)∈E}

带权图的邻接矩阵定义如下：

A[i][j]=A[i][j]={0,(vi,vj) 相反的一面1,(vi,vj)∈E，W为边（vi,vj）的权值}

2.邻接表法

邻接表法中即用到数组也用到链表。

对每个Vi∈V，使用一个单链表保存Vi的所有邻接点，每个邻接点保存在表的一个结点中。表结点结构定义为

顶点序号	指针

带权图邻接表表结点的结构定义为

定点序号	权值	指针

对于无向图，若（vi,vj）∈E，则包括Vj的结点出现在vi对应的邻接点表中，同样地，包括vi的结点出现在vi对应的邻接点表中。每条边在邻接表中保存两次。所有邻接点表中的结点数之和为图顶点个数的两倍。顶点vi对应的邻接点表中的结点个数即是vi的度。

对于有向图，顶点vi对应的邻接点表中的结点个数是Vi的出度，求其入度值时需要遍历所有邻接点表。

3.邻接多重表，十字链表。

无向图中的各条边在其邻接图中都被保存两次，而在邻接多重表中只保存一次，这对要求处理每一条的应用十分有利。

在邻接多重表中，每各结点保存一条边的信息，结点结构定义如下：

mark	vertex1	link1	vertex2	link2

其中，vertex1和vertex2分别是边所依附的两个顶点，link1指向下一条依附于顶点vertex1的边，link2指向下一条依附于顶点vertex2的边，对该边的处理结果可由mark来标记。

像邻接表一样，邻接多重表使用一堆数组保存图中所有顶点的信息。每个数组单元包括两个域：vertex和first,其中vertex保存每个顶点的信息，first指向第一条依附于vertex的边。

类似地，有向图可采用十字链表表示。十字链表中每个结点保存一条有向边的信息，结点结构定义为

mark	vertex1	link1	vertex2	link2

其中，vertex1和vertex2分别是边的始点和终点，link1指向下一条以vertex1为始点的边，link2指向下一条以vertex2以终点的边。

同样地，使用一维数组保存顶点信息，数组单元的结构为

vertex	firin	firout

其中firout指向以vertex为始点的第一条边，firin指向以vertex为终点的第一条边。

十字链表结合了邻接表和逆灵界表的特点，即方便求顶点的出度，也方便求顶点的入度。

1.4.3 图的遍历

图由顶点及边组成，它的遍历也有两大类：一是遍历图中的所有顶点，二是遍历图中的所有边。这里主要讨论第一类遍历情况，即不重复地列出图中所有的顶点。有两种主要遍历策略： 深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

1.深度优先搜索

深度优先搜索过程中，每输出一个顶点后，递归地访问并输出它的所有未被输出的邻接点。

从图G=（V，E）的任一顶点v1开始，输出顶点vi。将vi作为当前顶点，寻找当前顶点的邻接点vj,并进行如下判断：

• 若目前尚未输出vj,则输出vj.vj成为新的当前顶点，继续这个过程。

• 若vj已输出，则检查vi的另一个邻接点。

• 若vi的所有邻接点均已输出，则退回到vi之前的顶点。

  深度优先搜索过程是一个递归的过程，程序实现时使用栈记录遍历路径，当遍历一个顶点时，顶点入栈；当某顶点的所有邻接点均已访问过，则退栈，栈顶顶点又作为当前顶点，继续遍历过程。当栈空时，检查是否已遍历了图中的所有顶点。若是，图为连通图，否则，图是不联通的，此时得到图的一个连通分量。选择另一个尚未遍历的连通分量中的任一顶点作为当前顶点，重新开始遍历过程。深度优化搜索算法可以得到图的各个连通分量。

  直观地来看，深度优先搜索过程从某顶点v开始，沿着一条路径一直遍历下去，直到不能走到一个尚未访问的顶点时，再沿原路径返回到可找到为访问顶点的"岔路口"。

  当图中顶点数大于1时，图的深度优先搜索序列有多个。 选择不同的顶点出发，或是选择某顶点的邻接点时，都会存在多种不可能性。 树的遍历，迷宫问题的求解等均采用深度优先搜索策略。

2.广度优先搜索

广度优先搜索过程是一个迭代的过程 ，类似于二叉树层序遍历过程。

从图G=(V,E)的任一顶点vi开始，将顶点vi入队列。当队列不空时，循环执行：出队列，并输出该顶点，标记该顶点已输出，将该顶点所有尚未输出的邻接点入队列。

直观地来看，广度优先搜索过程从某顶点V开始，按照于V由近及远的次序来遍历。先是遍历于v一步之遥的各顶点，然后是遍历与v一步之遥的各顶点，然后是遍历与v两部之遥的各顶点，以此类推。

与深度优先搜索过程类似，当图中顶点个数大于1时候，广度优先搜索序列也有多个。遍历过程中，也需要一个一维数组为顶点做标记。广度优先搜索算法也可以得到图的连通分量。

与深度优先搜索过程中使用栈不同，广度优先搜索过程中使用队列来暂存那些等待输出的顶点。

1.4.4 图的基本应用

1.最小（代价）生成树

1）最小生成树的定义与特点

图的深度优先搜索过程中经过的所有边成为深度优先生成树，广度优先过程中经过的所有边称为广度优先生成树。

实际上，连通图的生成树是包含图中所有顶点及最少边数的连通子图。若图G=（V，E）中顶点数|V|=n,则G的生成树的边数为n-1。这是使得G连通的最少边数。

若连通图G=（V，E）的边数|E|>|V|-1,表明图中存在回路，生成树不唯一。|E|=|V|-1时，图本身既是生成树。若图不连通，每个连通分量的生成树一个生成森林。

对带权连通图G=（V，E），可计算生成树所含边的权值之和，称为生成树的代价。

若带权连通图G=（V,E）存在多棵生成树，则不同生成树的代价可能不同，其中代价最小的生成树称为最小（代价）生成树，简称为最小生成树。最小生成树中所含边的权值之和，小于等于图中任何一颗生成树所含边的权值之和。最小的生成树可能不唯一。

2）普里姆算法

普里姆（Prim）算法是求最小生成树的经典算法之一，算法相当简洁。普里姆算法的具体过程如下：

1. 初始化

   设T是图G的最小生成树，U是最小生成树的顶点集合，设由顶点V1开始，T=⭕/，U={v1};

2. 在所有u∈U，v∈V-U的边（u，v）∈E中选一条权值最小的边（ui,uj）,将vj加入U中，U=Uu{uj},将边（ui,uj）加入T中，T＝TU{（ui,uj）};

3. 重复 (2),直到U=V时结束。

   Prim算法的时间复杂度为O（n2）,适合求边稀疏图的最小生成树。

   3）克鲁斯卡尔算法

   克鲁斯卡尔算法（Kruskal）算法是求最小神成熟的另一个经典算法。

   初始时，最小生成树为只含n个顶点的非连通图T=（V，{}），图中每个顶点自成液体个连通分量。在E中选择权值最小的边，若该边依附的两个顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去该边而选择下一条权值最小的边。以此类推，直到T中所有顶点都在同一连接分量上为止。

   克鲁斯卡尔算法至多对e条边各扫描一次，以堆来保存图中所有的边，则每次选择权值最小的边时仅需O（log2e）的时间。生成树T的每个连通分量可堪称是一个等价类，将新边加入T的过程类似于两个等价类合并为一条等价类的过程，其时间复杂度为O（log2e）,故克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O（elog2e）。

   2.最短路径

   对于图G，广度优先搜索基于“由近及远”的遍历策略，可以得到从某一点到另一点的“最近路径”。

   对于带权图G=(V,E),路径长度定义为路径所含边的权值之和，而不再是路径所含的边数。两个顶点Vi,vj之间路径长度最小的路径称为两顶点间的最短路径。

   最短路径问题有两个：一是单源最短路径，二是所有顶点间的最短路径。

   1）单源最短路径

   求带权图的单源最短路径的算法称为迪杰斯特拉（Dijkstra）算法，它按照路径长度不减的次序产生最短路径。

   Dijkstra算法的基本思想是：把图中的所有顶点分成两个集合，令S表示已求出最短路径的顶点集合，其余尚未确定最短路径的顶点组成另一个记号个V-S。初始时，S中仅含有源点。 按最短路径查高度不减的次序逐个把第二个集合V-s中的顶点加入到S中，不断扩大已求出最短路径的顶点集合，直到从源点出发可以到达的所有顶点都在S中为止。

   为图中每个顶点定义一个距离值dist,分两种情况：S集合中顶点对应的距离值dist就是从源点到此顶点的最短路径长度；第二个集合V-S中顶点对应的距离值dist就是从源点到此顶点的最短路径长度；第二个集合V-s中顶点对应的距离值是从源点到此顶点，且路径中仅包含S中的顶点为中间顶点的最短路径的长度。

   如果dist值确实变小了，则以变化后的值替代原来的值，如果dist值没有变小，则保持原值不变。

   dist[i]={弧上的权值，若从源点V0到Vi有弧

   ​ {∞，否则

Dijkstra算法的步骤如下：

1. 初始化

   1. 设用带权的邻接矩阵cost表示带权有向图G=（V,E）；

   2. cost[i][j] 为弧（ui,uj）上的权值；

   3. S为已找到从源点V0出发的最短路径的终点集合，初始时只含有源点Vo;

   4. 从Vo出发到图中其余各顶点Vi的距离值为：

      dist[i] =cost[vo][vi] A vi∈V

最后得到的A(n)[i][j]就是从顶点Vi到J的最短路径的长度。

3. 拓扑排序

   不存在回路的有向图称为有向无环图，简称为DAG图。

   在有向图中，以顶点表示活动，有向边表示活动之间的优先关系，这样的有向图称为顶点表示活动的网络，简称为AOV网络。

   在AOV网中不允许出现回路，因为如果有回路，就表示某个活动是以自己为先决条件的，即存在一个活动Vi,vi即是其本身的前驱，又是其后继，这显然是矛盾的。因此AOV网是有向无环图。

   拓扑排序可以安排AOV网中的各个活动，它把AOV网张各个顶点按照它们之间的先后关系拍成一个线性序列，这个序列成为拓扑有序序列。在AOV网中，如果从顶点Vi到顶点Vj存在有向路径，则在拓扑有序序列中那个，Vi必定排在Vj的前面；如果从顶点vi到顶点uj,没有有向路径，则在拓扑有序序列中，Vi于Vj的先后次序可以任意。

   使用广度优先搜索算法求AOV网中所有顶点的入度值;

   (1)初始化-----记录AOV网中所有顶点的入度值

   (2)选一个入度为0（没有前驱）的顶点，输出它

   (3)从图中删除该顶点和以它为尾的所有的弧。

   重复步骤（2），（3），直至输出全部顶点；或者还没有输出全部顶点，但以找不到入度为0的顶点为止。第一种情况表示拓扑排序已完成，第二种情况表明原有向图中含有回路。

   AOV网的拓扑有序序列可能不唯一。

4.关键路径

在带权的有向图中，用顶点表示事件，用弧度表示活动，权表示活动持续的时间，这样组成的网称为以边表示活动的网，简称AOE网。在AOE网中，通常只有一个入度为O的点和一个出度为O的点，这是因为一个工程只有一个开始完成点。入度为O的点称为起始点或源点，出度为O的点称为结束点或汇点。

一个工程中的某些子活动是可以并行进行的；从源点到汇点最长路径的长度，即该路径上所有活动持续时间之和，就是完成整个工程所需的最少时间。把从源点到汇点具有最大长度的路径称为关键路径。关键路径上的所有活动称为关键活动。

在AOE网中，从源点Vi到任意顶点Vi的最长路径长度叫做时间Vi的最早发生时间。