定积分求含无穷大的式子的和

前置知识

• 黎曼积分的概念
• 牛顿-莱布尼茨公式

介绍

根据定积分的概念，可以得出

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i)$$

那么，对于部分形如

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i$$

这类式子，就可以用定积分来求了。

例题

计算$\underset{n\to +\infty }{\lim }(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})$

解：
\qquad 原式 = lim ⁡ n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + ( i n ) 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x ∣ 0 1 = π 4 =\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{1+(\frac in)^2}=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\bigg\vert_0^1=\dfrac{\pi}{4} =n→+∞lim​n1​i=1∑n​1+(ni​)21​=∫01​1+x21​dx=arctanx ​01​=4π​