定积分求含无穷大的式子的和

前置知识

  • 黎曼积分的概念
  • 牛顿-莱布尼茨公式

介绍

根据定积分的概念,可以得出

∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n f ( a + b − a n i ) \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^{n}f(a+\dfrac{b-a}{n}i) abf(x)dx=n+limn1i=1nf(a+nbai)

那么,对于部分形如

lim ⁡ n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n a i \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^na_i n+limn1i=1nai

这类式子,就可以用定积分来求了。


例题

计算 lim ⁡ n → + ∞ ( n n 2 + 1 + n n 2 + 2 2 + ⋯ + n n 2 + n 2 ) \lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n^2}) n+lim(n2+1n+n2+22n++n2+n2n)

解:
\qquad 原式 = lim ⁡ n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + ( i n ) 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x ∣ 0 1 = π 4 =\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{1+(\frac in)^2}=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\bigg\vert_0^1=\dfrac{\pi}{4} =n+limn1i=1n1+(ni)21=011+x21dx=arctanx 01=4π

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