图着色问题

图着色

图着色可以分为边着色和顶点着色，通常讨论的是顶点着色

顶点着色

顶点着色的要求就是相邻两点的颜色必须不同
严谨定义如下

图$G=(V,E)$的k-顶点着色定义为一个映射$f:V\to \{1,2,...,k\}$，使得
$$\forall (u,v)\in E,f(u)\ne f(v)$$

如果G存在k-顶点着色，则称G为k-可顶点着色的。
显然，如果G是k-可顶点着色的，那G也是(k+1)-可顶点着色的。
使图G满足k-可顶点着色这个条件的最小的k称为G的顶点色数(chromatic number)，记为$\chi (G)$。
换句话说，图G是$\chi (G)$-可顶点着色的，而不是$\chi (G)-1$-可顶点着色的。

顶点着色与度的关系

顶点着色问题与图的度由密切的关系
定理1

$$\forall G,G是(\Delta (G)+1)-可顶点着色的$$

定理1的简要证明

逐个给G的顶点着色。轮到点v时，挑一个v的相邻顶点未使用过的颜色给v着色。
由$d(v)\leqq \Delta (G)$可知，和v相邻的顶点最多只有$\Delta (G)$个，所以一定可以选出一种颜色给v着色。

定理1所给出的判断是比较强的，准确地说，存在无法用$\Delta (G)$种颜色完成顶点着色的图G。例如，完全图$G=K_n$，$\Delta (G)=n-1$，而显然完全图的顶点色数为n

定理1可以从其他方面加强
定理2

$$非正则的连通图G是\Delta (G)-可顶点着色的$$

定理2的证明

因为G是连通图，所以存在生成树。任选一个生成树，记为T。
由于G是非正则的，故存在某个度并非最大的顶点，记为v。
在生成树T中，将v视为根，从叶顶点向根顶点依次着色。准确地说，给顶点u着色时，u以下的叶顶点必须已完成着色。
下面说明，u一定有色可着。
当$u\ne v$时，在T中，比u更靠近根部的顶点还没有着色，即在u的周边至少有一个未着色的顶点。
于是在u的周边被使用调的颜色，最多为$d(u)-1\leqq \Delta (G)-1$种，所以u有色可着。
最后给v着色，v不是度最大的所以$d(v)\leqq \Delta (G)-1$，v周围最多使用了$\Delta (G)-1$种颜色，所以v一定有色可着。

定理2的条件可以进一步强化
布鲁克斯定理

$$对于连通图G，如果G既不是完全图，也不是奇数顶点的圈，则G是\Delta (G)-可顶点着色的$$

k-顶点着色问题

给定图G和正整数k，判断图G是否满足k-可顶点着色的性质，这就是k-顶点着色问题。

1-顶点着色问题

显然对于图G=(V, E)，若E=0，则G是1-可顶点着色的，否则不是。

2-顶点着色问题

命题1：G是2-可顶点着色的
命题2：G是二部图
命题3：G中不含奇数长的圈
这三个命题是等价的。下面简要证明

证明命题1等价于命题2
首先证明“$命题1\Rightarrow 命题2$”
由于G是二部图，所以可以将G的顶点分为两部分V1和V2，各部分中的点之间没有边。
因此可以给V1着一种色，V2一种色，这就是G的着色方案。
再证明“$命题2\Rightarrow 命题1$”
根据图的着色方案，由于同色的点之间没有边，G中的顶点可据此分为两部分，因此G是二部图。

证明命题1等价于命题3
首先证明“$命题1\Rightarrow 命题3$”，我们选择证明它的逆否命题
设G中含有奇数长的圈v1v2…vtv1。要想用两种颜色给G着色，圈上的各顶点必须两种颜色交替出现。由于t是奇数，所以vt与v1同色。因此，G不是2-可顶点着色的。
再证明“$命题3\Rightarrow 命题1$”
不妨设G是连通图。选任一顶点，记为$v$，并令$S_1=v$；
把与$v$相邻的顶点构成的集合记为$S_2$；
把与$S_2$中某顶点相邻，并且不在$S_1$与$S_2$中的顶点构成的集合记为$S_3$；
重复以上操作，直到所有顶点都落入某个集合S中。
显然，对于连通图，这样的构造方法是可行的。易知，对于$S_i$与$S_j$，当$j\geqq i+2$时，$S_i$与$S_j$z之间没有边。
接下来用反证法证明，同属于$S_i$的两个顶点$u_i$与$w_i$之间没有边。
假设$u_i$与$w_i$之间有边，根据$S_i$的构造方法，$u_i$与$w_i$都和$S_{i-1}$中的某个点构成边。
若是同一个点则构成了一个长为3的圈，若不是则向前追溯，最终会到某一个点构成一个奇数长的圈，这与初始条件相矛盾。
综上所述，将属于$S_1\cup S_3\cup S_5\cup ...$的顶点涂上颜色1，将属于$S_2\cup S_4\cup S_6\cup ...$的顶点涂上颜色2，相同颜色的顶点之间没有边，所以G是2-可顶点着色的。

3-顶点着色问题

这是一个NP完全问题。

4-顶点着色问题

4-顶点着色问题也是NP完全问题。
大名鼎鼎的四色问题

$$给平面上的空白地图着色，能否只用4种颜色就让相邻的区域着上不同的颜色？$$

答案是肯定的，因此就有了四色定理。
对于平面上的地图，将各个区域视为顶点，用边连接相邻的区域，这样就得到了一个平面图。
四色定理就可以简化为以下

$$任何平面图都是4-可顶点着色的$$

边着色

类似于顶点着色，图的边着色是指，给图的各条边着色，使得对于任意顶点，与其关联的边的颜色都不同。
如果图G可以用k种颜色实现边着色，则称G为k-可边着色的。
使G满足k-可边着色条件的最小的k称为G的边色数(也称为边指数chromatic index)，记为${\chi }^{\prime }(G)$。
换句话说，图G是${\chi }^{\prime }(G)$-可边着色的，而不是${\chi }^{\prime }(G)-1$-可边着色的。

边着色与度的关系

从定义可知，${\chi }^{\prime }(G)\geqq \Delta (G)$
维津定理

$$\forall G,{\chi }^{\prime }(G)\leqq \Delta (G)+1$$

边着色基本可以用图的顶点最大度来刻画，误差仅为$\pm 1$。
进一步强化条件，对于二部图有
柯尼希定理

$$对于任何的二部图G，都有{\chi }^{\prime }(G)=\Delta (G)$$