【计算机组成原理】乘法运算

原码乘法运算

r进制乘法可以将乘数变为,第k位数字乘rk
被乘数变为一个整数乘rx

Ex:

首先需要把0.1101分解为:1101 x 2-4
然后将乘数0.1011分解为:1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-4
最后将其相乘后相加
0.1101 x 0.1011 = (1101 x 1 x 2-5) + (1101 x 0 x 2 -6) + (1101 x 1 x 2-7) + (1101 x 1 x 2-8) = 0.10001111
乘2k 使用移位运算实现。

1、符号位如何处理
答:对两个符号位使用异或。
2、乘积位数扩大一倍如何处理
答:使用两个位数相同的寄存器存取数据
3、位积如何保存下来统一相加?X
答:不统一相加

原码一位乘法

每次加0或被乘数的绝对值补码
机器字长为n+1=5位(含一位符号位)
[x] = 1.1101
[y] = 0.1011

符号位单独运算
1 异或 0 的结果为1。
数值位取绝对值计算

[|x|] = 0.1101
[|y|] = 0.1011

【计算机组成原理】乘法运算_第1张图片

ACC(Accumulator):累加器,存放操作数,或运算结果
MQ(Multiple-Quotient Register):乘商寄存器,在乘除运算中存储操作数或运算结果
X(Arithmetic and Logic Unit):通用的操作数寄存器,用于存放操作数
ALU:算术逻辑单元,实现算术和逻辑运算

+ - x /
ACC 被加数、和 被减数、差 乘积高位 被除数、余数
MU 乘数、乘积低位
X 加数 减数 被乘数 除数

实现方法:先加法再移位,高位补0,舍弃MQ最后一位,n次(n为乘数数值位长度)

ACC置0,MQ为乘数,X为被乘数。
【计算机组成原理】乘法运算_第2张图片

若当前MQ最后一位为1,在ACC上加被乘数,然后向右移位。
若当前MQ最后一位为0,在ACC上加0,然后向右移位。
注意小数点位置。
最后修改符号位,ACC第一位为符号位。

若采用一位符号位:
ACC 为n+1位 :第一位最后为符号位
MQ为n+1位:存放乘数包括其符号位,最后符号位不参与运算
X为n+1位:存放被乘数,包括其符号位

若采用两位符号位(手写二进制乘法):
ACC 为n+2位 :前两位最后为符号位
MQ为n位:存放乘数的数值位
X为n+2位:存放被乘数及其符号位,前两位为符号位。

两位符号位手算:

[x] = 1.1101
[y] = 0.1011

1、符号位异或得1为正数。
2、对两个数值的绝对值进行计算,n为4,4次乘法。
[|x|] = 0.1101
[|y|] = 0.1011

# 初始,ACC置0,MQ为乘数,X为被乘数
ACC 00.0000 MQ 1011
X      00.1101 
# 第一次加法
ACC加被乘数
ACC 00.1101 MQ 1011
X      00.1101 
ACC MQ 右移
ACC 00.0110 MQ 1101
X      00.1101 
# 第二次加法
ACC加被乘数
ACC 01.0011 MQ 1101
X      00.1101 
ACC MQ 右移
ACC 00.1001 MQ 1110
X      00.1101
# 第三次加法
ACC加0
ACC 00.1001 MQ 1110
X      00.1101 
ACC MQ 右移
ACC 00.0100 MQ 1111
X      00.1101
# 第四次加法
ACC加被乘数
ACC 01.0001 MQ 1111
X      00.1101 
ACC MQ 右移
ACC 00.1000 MQ 1111
X      00.1101
# 得到结果为ACC和MQ中的高位和低位前后相加,然后加上符号
00.1000 1111 + 符号位1
1.1000 1111

补码的乘法运算

补码一位乘法 & Booth算法

设计器字长为5位,数值位4位,符号位1位。x= -0.1101,y=+0.1011
补码一位乘法进行n轮加法和移位最后再来一次加法

与原码乘法不同,MQ的后方添加了一个辅助位辅助位初始为0
由于计算机中寄存器的位数相同,ACC和X也是n+2位。因此采用双符号位
每次加0、被乘数补码或被乘数相反数的补码

1、每次ACC如何加

#这里☞的最低位不是MQ的第n+2位,而是n+1位。
辅助位 - MQ最低位 = 1 时 ACC + [x]
辅助位 - MQ最低位 = 0 时 ACC + 0
辅助位 - MQ最低位 = -1 时 ACC + [-x]

2、每次ACC如何移动

符号位不动,数值位右移,正数补0,负数补1
ACC n+2位,MQ n+2位
X n+2位

【计算机组成原理】乘法运算_第3张图片
 设机器字长为5位,(含一位符号位,n=4)x=-0.1101,y=+0.1011
[x] = 11.0011 , [-x] = 00.1101
[y] = 00.1011

# 初始 ACC置0 MQ 为乘数 X为被乘数
ACC 00.0000 MQ 0.1011|0
X      00.1101
# 第一次加法,ACC加[-x]补码
ACC 00.1101 MQ 0.1011|0
X      00.1101
# ACC MQ右移
ACC 00.0110 MQ 10.101|10
X      00.1101
# 第二次加法,ACC加0
ACC 00.0110 MQ 10.101|10
X      00.1101
# ACC MQ 右移
ACC 00.0011 MQ 010.10|110
X      00.1101
# 第三次加法,ACC加[x]补码
ACC 11.0110 MQ 010.10|110
X      00.1101
# ACC MQ 右移
ACC 11.1011 MQ 0010.1|0110
X      00.1101
# 第四次加法,ACC加[-x]补码
ACC 00.1000 MQ 0010.1|0110
X      00.1101
# ACC MQ 右移
ACC 00.0100 MQ 00010.|10110
X      00.1101 
!# 第五次加法,ACC加[x]补码
ACC 11.0111 MQ 00010.|10110
X      00.1101 
第 n+1次没有移位!!!
最后结果的补码为
11.01110001
转为原码为
11.10001111
数值为
-0.10001111	

总结

原码和补码的乘法运算

原码 补码
步骤比较 n次加法,n次移位 n+1次加法,n次移位
加数比较 +0、+[|x|] +0、+[x]、+[-x]
移位 逻辑右移(符号位不参与运算)、移位补0 算数右移(符号位参与运算)、移位补当前符号

原码加数和补码加数

原码MQ情况 原码ACC加数 补码MQ情况 原码ACC加数
最低为为0 +0 辅助位-MQ最低位 为1 +[x]
最低位为1 +[|x|] 辅助位-MQ最低位 为0 +0
辅助位-MQ最低位 为-1 +[-x]

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