EXCEL描述统计输出详解：标准误、置信度、偏度、峰度和JB检验

本文介绍EXCEL描述统计输出的各个细节，主要围绕标准差相关指标展开。包括：

1. 解释标准差、标准误差、置信度之间的关系
2. 介绍各指标在EXCEL中如何单独计算
3. 介绍各指标的统计学公式
4. 重点强调一下峰度和偏度在EXCEL中的底层计算公式
5. 顺便一提基于峰度和偏度的正态分布检验：Jarque-Bera检验

---

进入正文…

EXCEL-数据-数据分析-描述统计，得出以下输出。图中蓝色框体为EXCEL输出，右侧为EXCEL中指标单独计算公式。

1.标准差、标准误差与置信度

标准差、方差、标准误差、置信度中，关键指标为标准差，已知标准差和其他相关信息（观测数、置信水平）可相应计算出其他三个指标。具体来说：
方差=标准差²
标准误差=标准差/sqrt(观测数)
置信度=t分位数*标准误差，注意是t分布而不是正态分布。
其中t分位数在第2部分中介绍。

2. EXCEL中如何单独计算

EXCEL中对每一指标都有对应公式可单独计算，如果只想获得其中某指标，大可不必上整套描述统计。
其中：
方差=var(数据）
标准差=stdev(数据）
峰度=kurt(数据）
偏度=skew(数据）
这里需要注意的是，以上均为样本指标，即计算所得为样本方差、样本标准差…而计算总体指标，对应函数一般后缀.p，例如var.p(数据)计算总体方差。
p即population（总体），很好理解。
另外，StDev即standard deviation，我总是容易写错。

另外关于t分位数函数, EXCEL中分单双尾：
1） 单尾：t.inv(概率，自由度），计算左分位数。例如t.inv(0.025,11)=-2.20，计算左0.025分位数。

2） 双尾：t.inv.2t(概率，自由度），计算双尾分位数。例如t.inv.2t(0.05,11)=2.20。与上面单尾绝对值相同。t分布为对称分布，意会一下。

顺便一提，若计算某分位数概率，则函数为t.dist()和t.dist.2t()。可结合上面的分位数函数，探究这两个函数的用法。

3. 统计学公式

各指标的定义公式

这里要注意的是，样本标准差分母为n-1，如此才是总体标准差的无偏估计。其他相关公式中出现样本标准差，也都是n-1。

4. 峰度和偏度在EXCEL中的底层计算公式

样本偏度、峰度均在总体偏度、峰度公式上有一个系数调整，以达成无偏估计。其中：
正态分布偏度为0，峰度为3。
偏度大于0为右偏，反之为左偏；
峰度大于3为厚尾(fat tail)，反之为thin tail。
通常将计算所得峰度减3，以使峰度指标跟偏度一样，以0为界。而在EXCEL计算中，不直接减3，而是减去略大于3：

即EXCEL中kurt()输出峰度为0即为正态分布。
样本偏度EXCEL中底层计算即图中样本偏度对应公式。

5. 正态分布检验：Jarque-Bera检验

鉴于正态分布峰度为3，偏度为0，JB检验正是基于这两个指标检验一组数据是否符合正态分布。
对于正态分布，其偏度、峰度也符合正态分布：

对二者标准化再加和得到JB统计量，符合自由度为2的卡方分布：

以α=0.05为例，对应卡方分位数约等于6。即JB>6时，不接受数据服从正态分布的原假设。
注意：JB检验为单侧检验，貌似很多卡方检验都是单侧检验。
在EXCEL中计算JB统计量时，需注意Kt中已经减去了3。

金风玉露一相逢，记我的第一篇博客，编辑耗时2h，请多指教。