【数据结构】基础：红黑树
【数据结构】基础：红黑树（含c++源码）
摘要：本文主要介绍红黑树的概念与基本实现。首先对于红黑树的概念和性质进行说明，再根据红黑树的特性设定相应的实现方案。再实现过程中，主要介绍了红黑树的插入步骤，首先补充了关于树的旋转知识，介绍了如何控制树的高度与平衡，再通过搜索的性质与红黑树的性质入手，完成红黑树的插入，实现后对其进行验证。最后将其与AVL树进行了性能比较，展示红黑树的优点。
文章目录
- 【数据结构】基础：红黑树（含c++源码）
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- 一、概述
- 二、红黑树的实现
- 三、红黑树的插入
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- 3.0 补充：旋转控制
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- 2.3.1 右单旋(RotateR)
- 2.3.2 左单旋(RotateL)
- 3.1 搜索插入
- 3.2 颜色与平衡控制
-
- 3.2.1 情况一：父亲节点不为红色
- 3.2.2 情况二：父亲节点不为红色且叔叔节点存在且为红
- 3.2.3 情况三：父亲节点不为红色且叔叔节点不存在或存在且为黑
- 3.3 插入过程示例
-
- 3.3.1 以升序插入构建红黑树
- 3.3.2 以降序插入构建红黑树
- 3.3.3 随机插入构建红黑树
- 四、红黑树的验证
-
- 4.1 搜索树验证
- 4.2 红黑树验证
- 4.3 完整代码
- 五、性能比较
- 六、完整代码
一、概述
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
红黑树遵循以下性质：
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的，即没有连续的红节点
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的（此处的叶子结点指的是空结点）
根据以上性质，可以保证最长路径不超过最短路径的两倍，原因为：
- 由性质4，当根到任一个叶节点的简单路径最短时，这条路径必须全是由黑结点构成
- 由性质3，当某条路径最长时，这条路径必须由黑红相间的路径构成，此时红节点路径和黑节点相同
示例用图如下：
二、红黑树的实现
红黑树的形式采取与AVL树相似的方案三叉链，由于在红黑树在插入节点时，需要更新祖先的节点颜色，因此设置了_parent指针方便更新。对于节点的结构，增加了枚举类型Colour来记录颜色。关于节点的构造函数将节点的初始颜色设置为红色，便于后续插入过程。否则违反了性质4，增加插入难度。
对于树的结构，设置根节点即可，通过根节点来访问整课树形结构，具体代码如下：
enum Colour{
RED,
BLACK
};
template<class K, class K>
class RBTreeNode {
public:
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _KeyValue;
Colour _colour;
RBTreeNode(const pair<K, V>& KeyValue)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _colour(RED)
, _KeyValue(KeyValue)
{}
};
template<class K,class V>
class RBTree {
typedef RBTreeNode<K, V> RBTreeNode;
private:
RBTreeNode* _root;
public:
RBTree()
:_root(nullptr);
{}
};
三、红黑树的插入
红黑树的插入是在搜索二叉树的条件下进行改进，先进行搜索，再进行颜色与平衡控制，从而达到降低高度的目的。因此主要基本思想可以分为：
- 根据二叉搜索树的规则寻找插入位置
- 调节颜色与平衡，使其符合红黑树的性质与降低树的高度
3.0 补充：旋转控制
2.3.1 右单旋(RotateR)
几何特征：当新节点插入较高左子树的左侧时，将其需要将其像右旋转，图示如下：
旋转意义：将高度较高的子树的最大节点上提为根，将原来的根下移为子树的根，使得高度平衡。如此原来高度为H+2的子树降低为H+1，原来H的子树提高为H+1。
实现过程：
-
从总体上观察，是将
cur的右子树作为了parent的左子树，再将cur的右子树指向parentvoid RotateR(AVLTreeNode* parent) { AVLTreeNode* cur = parent->_left; AVLTreeNode* curR = cur->_right; parent->_left = curR; curR->_parent = parent; cur->_right = parent; parent->_parent = cur; } -
对于整棵树的整体已经变化完毕了，但是还需要对树外的指针进行操作，即对于
parent的parent也要进行连接。如果parent是根节点就不需要连接，将cur作为根，否则就需要找出链接的子树，并完成相互链接。void RotateR(AVLTreeNode* parent) { // cur一定存在 无需判断空 AVLTreeNode* cur = parent->_left; AVLTreeNode* curR = cur->_right; // 对于parent的parent也要进行连接 AVLTreeNode* parentParent = parent->_parent; parent->_left = curR; curR->_parent = parent; cur->_right = parent; parent->_parent = cur; // 如果parent是根节点就不需要连接，将cur作为根 if (parent == _root) { _root = cur; _root->_parent == nullptr; } // 将cur作为根，否则就需要找出链接的子树，并完成相互链接 else{ if (parentParent->_left == parent) { parentParent->_left = cur; cur->_parent = parentParent; } else { parentParent->_right = cur; cur->_parent = parentParent; } } } -
由于存在空指针的情况，因此需要对节点的子树进行判断
void RotateR(AVLTreeNode* parent) { AVLTreeNode* cur = parent->_left; AVLTreeNode* curR = cur->_right; // 对于parent的parent也要进行连接 AVLTreeNode* parentParent = parent->_parent; parent->_left = curR; // curR可能为空，因此需要对其进行空指针的判断 if (curR != nullptr) { curR->_parent = parent; } cur->_right = parent; parent->_parent = cur; // 如果parent是根节点就不需要连接，将cur作为根 if (parent == _root) { _root = cur; _root->_parent == nullptr; } // 将cur作为根，否则就需要找出链接的子树，并完成相互链接 else{ if (parentParent->_left == parent) { parentParent->_left = cur; cur->_parent = parentParent; } else { parentParent->_right = cur; cur->_parent = parentParent; } } } -
最后对平衡因子进行相应的修改
cur->_balanceFactor = parent->_balanceFactor = 0; -
完整代码
void RotateR(AVLTreeNode* parent) { AVLTreeNode* cur = parent->_left; AVLTreeNode* curR = cur->_right; // 对于parent的parent也要进行连接 AVLTreeNode* parentParent = parent->_parent; parent->_left = curR; // curR可能为空，因此需要对其进行空指针的判断 if (curR != nullptr) { curR->_parent = parent; } cur->_right = parent; parent->_parent = cur; // 如果parent是根节点就不需要连接，将cur作为根 if (parent == _root) { _root = cur; _root->_parent == nullptr; } // 将cur作为根，否则就需要找出链接的子树，并完成相互链接 else{ if (parentParent->_left == parent) { parentParent->_left = cur; cur->_parent = parentParent; } else { parentParent->_right = cur; cur->_parent = parentParent; } } cur->_balanceFactor = parent->_balanceFactor = 0; }
2.3.2 左单旋(RotateL)
几何特征：当新节点插入较高右子树的右侧时，将其需要将其像左旋转，图示如下：
旋转意义：将高度较高的子树的最大节点上提为根，将原来的根下移为子树的根，使得高度平衡。如此原来高度为H+2的子树降低为H+1，原来H的子树提高为H+1。
实现过程：与右单旋类似，只是方向不同，在此不做过多赘述
void RotateL(AVLTreeNode* parent) {
AVLTreeNode* cur = parent->_right;
AVLTreeNode* curL = cur->_left;
AVLTreeNode* parentParent = parent->_parent;
parent->_right = curL;
if (curL != nullptr) {
curR->_parent = parent;
}
parent->_parent = cur;
cur->_left = parent;
if (parent == _root) {
_root = cur;
_root->_parent = nullptr;
}
else {
if (parentParent->_left == parent) {
parentParent->_left = cur;
cur->_parent = parentParent;
}
else {
parentParent->_right = cur;
cur->_parent = parentParent;
}
}
}
3.1 搜索插入
该步的方法与搜索二叉树的插入过程相似，首先找出键值对的键找出插入位置，其中记录parent和cur指针，便于在找到后简单的找出与父节点连接的方向以及完成插入节点的parent指针的连接。
bool Insert(const pair<K, V>& keyValue) {
if (_root == nullptr) {
_root = new RBTreeNode(keyValue);
_root->_colour = BLACK;
return true;
}
RBTreeNode* parent = nullptr;
RBTreeNode* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_KeyValue.first < keyValue.first) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_KeyValue.first > keyValue.first) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
cur = new RBTreeNode(keyValue);
cur->_colour = RED;
if (parent->_KeyValue.first < keyValue.first) {
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else {
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 控制平衡
}
3.2 颜色与平衡控制
对于插入的节点，默认设置为红色。如果设置为黑色可能会对黑色节点的数目造成影响，由于要符合性质4，在修改颜色时会造成麻烦。 默认为红色后，对于颜色与平衡的控制可以分为两大类
3.2.1 情况一：父亲节点不为红色
直接出入即可，说插入节点为红色节点，不存在破坏红黑树结构的可能，但需要时刻保持根节点为黑色
// 控制平衡
_root->_colour = BLACK;
3.2.2 情况二：父亲节点不为红色且叔叔节点存在且为红
几何特征：在未插入节点时，父亲为红色，且叔叔也为红色，当插入节点后会出现两种连续的红色，不符合红黑树插入的性质
几何图示：
颜色修改：
- 将父节点与叔叔节点修改为黑色，并将爷爷节点修改为红色
- 由于爷爷进行了颜色修改，可能出现两个连续的红节点，因此是一个父亲节点迭代的过程
- 对于根节点的黑色保持
修改意义：保持黑色节点在不同路径下的数量一致
平衡修改：树认为平衡状态不需要修改
实现过程：
- 判定父亲节点与叔叔节点的颜色与方向
- 进行颜色修改
- 迭代祖先颜色修改过程
- 对于根节点的颜色保持
具体代码：
while (parent && parent->_colour == RED){
RBTreeNode* grathfather = parent->_parent;
if (grathfather->_left == parent) {
RBTreeNode* uncle = grathfather->_right;
// 情况一：父亲节点不为红色且叔叔节点存在且为红
if (uncle && uncle.colour == RED) {
parent->_colour = uncle->_colour = BLACK;
grathfather->_colour = RED;
// 迭代
cur = grathfather;
parent = cur->_parent;
}
else {
}
}
else {
RBTreeNode* uncle = grathfather->_left;
// 情况一：父亲节点不为红色且叔叔节点存在且为红
if (uncle && uncle.colour == RED) {
parent->_colour = uncle->_colour = BLACK;
grathfather->_colour = RED;
// 迭代
cur = grathfather;
parent = cur->_parent;
}
else {
}
}
}
3.2.3 情况三：父亲节点不为红色且叔叔节点不存在或存在且为黑
几何特征：在未插入节点时，父亲为红色，且叔叔为黑色，当插入节点后会出现两种连续的红色，不符合红黑树插入的性质。而且当叔叔为黑时或不存在时，当新节点插入，将会使得性质4被破坏，此时的树也并非符合条件的接近平衡。为此需要进行旋转操作。
几何图示：
平衡修改：
-
当新插入节点与树较高位同侧，采用单旋即可
-
当新插入节点与树较高位异侧，采用双旋即可
颜色修改：在旋转后，保持黑色节点的数量一致，其中新子树的根为黑色，子节点均为红色
实现过程：
- 判定父亲节点与叔叔节点的颜色与方向，确定插入的方向与高度更高的方向的关系，完成平衡修改方案判断
- 颜色修改
- 结束迭代
具体代码：
while (parent && parent->_colour == RED){
RBTreeNode* grathfather = parent->_parent;
if (grathfather->_left == parent) {
RBTreeNode* uncle = grathfather->_right;
//父亲节点不为红色且叔叔节点存在且为红
if (uncle && uncle.colour == RED) {
parent->_colour = uncle->_colour = BLACK;
grathfather->_colour = RED;
// 迭代
cur = grathfather;
parent = cur->_parent;
}
//父亲节点不为红色且叔叔节点不存在或存在且为黑
else {
// 左左：右单旋
// grathfather
// parent
// cur
if (cur == parent->_left) {
RotateR(grathfather);
parent->_colour = BLACK;
grathfather->_colour = RED;
}
// 左右：左单旋 -- 右单旋
// grathfather
// parent
// cur
else {
RotateL(parent);
RotateR(grathfather);
cur->_colour = BLACK;
grathfather->_colour = RED;
}
break;
}
}
else {
RBTreeNode* uncle = grathfather->_left;
// 情况一：父亲节点不为红色且叔叔节点存在且为红
if (uncle && uncle.colour == RED) {
parent->_colour = uncle->_colour = BLACK;
grathfather->_colour = RED;
// 迭代
cur = grathfather;
parent = cur->_parent;
}
else {
// 右右：左单旋
// grathfather
// parent
// cur
if (cur == parent->_right) {
RotateL(grathfather);
parent->_colour = BLACK;
grathfather->_colour = RED;
}
else {
// 右左：右单旋 -- 左单旋
// grathfather
// parent
// cur
RotateR(parent);
RotateL(grathfather);
cur->_colour = BLACK;
grathfather->_colour = RED;
}
break;
}
}
}
3.3 插入过程示例
3.3.1 以升序插入构建红黑树
3.3.2 以降序插入构建红黑树
3.3.3 随机插入构建红黑树
四、红黑树的验证
红黑树的检测分为两步：
- 检测其是否满足二叉搜索树
- 检测其是否满足红黑树的性质
4.1 搜索树验证
通过中序遍历来完成对二叉搜索树的检查
public:
void InOrder(){
_InOrder(_root);
}
private:
void _InOrder(RBTreeNode* root){
if (root == NULL)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_KeyValue.first << ":" << root->_KeyValue.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
4.2 红黑树验证
主要步骤为：
-
验证根节点的颜色为黑色
if (_root && _root->_colour == RED){ cout << "根节点不是黑色" << endl; return false; } -
验证没有连续的红节点
if (root->_colour == RED && root->_parent->_colour == RED){ cout << "出现连续红色节点" << endl; return false; } -
验证简单路径下均包含相同数目的黑色结点 ：以最左路径作为参考值，当每条路径的黑色节点不等于该基准值时，就违反了红黑树的性质
bool IsBalance(){ // 最左路径黑色节点数量做基准值 int banchmark = 0; RBTreeNode* left = _root; while (left){ if (left->_colour == BLACK) ++banchmark; left = left->_left; } int blackNum = 0; return _IsBalance(_root, banchmark, blackNum); } bool _IsBalance(RBTreeNode* root, int banchmark, int blackNum){ if (root == nullptr){ if (banchmark != blackNum){ cout << "存在路径黑色节点的数量不相等" << endl; return false; } return true; } if (root->_colour == BLACK){ ++blackNum; } return _IsBalance(root->_left, banchmark, blackNum) && _IsBalance(root->_right, banchmark, blackNum); }
4.3 完整代码
bool IsBalance(){
if (_root && _root->_colour == RED){
cout << "根节点不是黑色" << endl;
return false;
}
// 最左路径黑色节点数量做基准值
int banchmark = 0;
RBTreeNode* left = _root;
while (left){
if (left->_colour == BLACK)
++banchmark;
left = left->_left;
}
int blackNum = 0;
return _IsBalance(_root, banchmark, blackNum);
}
bool _IsBalance(RBTreeNode* root, int banchmark, int blackNum){
if (root == nullptr){
if (banchmark != blackNum){
cout << "存在路径黑色节点的数量不相等" << endl;
return false;
}
return true;
}
if (root->_colour == RED && root->_parent->_colour == RED){
cout << "出现连续红色节点" << endl;
return false;
}
if (root->_colour == BLACK){
++blackNum;
}
return _IsBalance(root->_left, banchmark, blackNum)
&& _IsBalance(root->_right, banchmark, blackNum);
}
五、性能比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log2N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。
对于AVL树来说，如果高度为h，则节点数量为N = 2^h - 1，高度接近于logN。
对于红黑树来说，虽然左右没有那么均衡，但是整体高度也是可以推断的较为平衡的。假设一条路径下黑色节点数量为X，根据红黑树的性质，假设高度为h，满足于 X ≤ h ≤ 2X，节点数量满足于2^X - 1 ≤ N ≤ 2^2X - 1，分别对应全黑二叉树与一黑一红二叉树。对应的整体高度为2*logN。但是降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优。
六、完整代码
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