2021-06-17-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P53 习题9）
设集合.试求最小正整数,使得中的每个元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长.
解
引理
如果正整数满足方程,则3个数中至少有1个数是5的倍数.这是因为,,,,所以,如果和都不是5的,则和都模5等于1或.从而只能模5等于0,因此,是5的倍数.
考察以10,15,25,40,45分别作为直角三角形1条连长的所有勾股数组.因为方程(1)的正整数解可以表为:,,,其中,且,故知这样的勾股数共有下列11组:,,,,,,,,,.注意到前9组勾股数中每组都有这4个数之一,可知集合中任何3个数都不是一组勾股数.所以,所求的最小正整数.
另一方面,在下列9组勾股数,,,,,,,,中出现的27个数互不相同.故对的任一个42元子集,不在中的8个数至多属于其中的8组,从而至少有1组勾股数全在中.故所求的最小正整数.
2021-06-17-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P53 习题10）
设是一个奇质数,考虑集合满足以下两个条件的子集:
(i)恰有个元素;
(ii)中所有元素之和可被整除.
试求所有这样的子集的个数.
解
记,,,除去和而外,的所有其他的元子集都使得,.
若的两个这样的元子集和同时满足:;只要编号适当,的元素和的元素对适当的满足同余式组,.就约定将这两个子集和归入同一类．
对于同一类中的不同子集和,显然有,因而.对于同一类中的不同子集,它们各自元素的和模的余数不相同.因而每一类恰含个子集,其中仅一个适合题目的条件(ii).
综上所述,在的个元子集当中,除去和这两个特定子集外,每个子集分成一类,每类恰有一个子集满足题目的条件
(ii).据此很容易算出,的适合条件(i)和(ii)的子集的总数为.
2021-06-17-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P53 习题11）
设,,是一个元集合.求最小的正整数使得存在的子集具有如下性质:对中的任意两个不同元、,存在,使得为的一元子集．
解
| 1 | 2 | 3 | |||
|---|---|---|---|---|---|
构造如上表格:如果,那么在所在行、所在列处的方格中标上1,其余的方格中标上0.考虑表格中的列构成的序列.我们证明:的子集具有题中性质的充要条件是:两两不同.若两两不同,则对任意,有.于是在某一行（设为第行）上,第列与第列的方格中一个为1,而另一个为0.这表明为单元集,故具有题中性质.由于对任意,存在,使为单元素集,故与在第行处的两个方格中的数一个为1，而另一个为0，故.所以,两两不同.
由于由0、1构成的元序列有且仅有个两两不同,从而由抽屉原则及前面所证明的结论知.所以,所求的最小正整数为不小于的最小正整数.
2021-06-17-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P53 习题12）
设,求最小自然数使的任一元子集中都存在两个不同的数和,满足.
解
设有满足.记,于是,,其中且有,,不妨设.由于,,因此.又由于,,因此.而,即,所以.由此可知,中满足的不同数对共有23对:时,有,,,,,,,;时,有,,,;时,有,,,，;时,有;时,有,,;时,有;时,有.
令.则上述23个数对中的每一个数对都至少包含中的1个元素.令.则中任何两数都不能成为满足条件的数对.因为,所以所求最小的自然数.
另一方面,下列12个满足题中要求的数对互不相交:,,,,,,,,,,,.对于中任一39元子集,它只比少11个元素,而这11个元素至多属于上述12个数对中的11个,因此,必有12对中的一对属于.故所求的最小自然数.