二叉树的基本定义

树的定义

树是n个结点的有限集。当n = 0时称为空树，在任意一颗非空树种；

• 有且仅有一个特定的称为根的结点
• 当n > 1时，其余结点可分为m(m > 0) 个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm,其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为跟的子树。

树结点的分类

结点拥有的子树称为度。度为0的结点称为叶结点或终端结点；度不为零的结点称为非终端结点或分支结点。除根节点外，分支结点也称为内部节点。树的度是树内树内各节点的度的最大值。

树与结点之间的关系

结点的子树的根称为该结点的孩子，相应的，该节点称孩子的双亲。同一个双亲的孩子之间相互称为兄弟。结点的祖先是从根到该结点所有分支上的所有结点。

 

树的层次

结点的层次从根结点开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第i层。则其子树的根就在i+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层称为树的深度或高度。

 二叉树的定义

二叉树是n（n >= 0）个结点的有限集合，该集合或空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

 二叉树的五种基本形态

(1)空二叉树

(2)只有一个根结点

(3)根结点只有左子树

 

(4)根结点只有右子树

 

(5)根结点既有左子树又有右子树                        

 

二叉树的特殊情况——斜树

所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树，所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。所以在极端情况下二叉树会退化成为线性表（线性表是树的特殊表现形式），这种情况也称为非平衡树

 

二叉树的特殊情况——满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层次上这样的二叉树称为满二叉树。满二叉树是一种平衡树。

 二叉树的特殊情况——完全二叉树

对一棵树具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1 <= i <=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i额结点在二叉树中位置完全相同，则这颗二叉树称为完全二叉树。完全二叉树也是一种平衡树。

 二叉树的性质

• 在二叉树的第i层上至多有个结点（i >= 1）
• 深度为k的二叉树至多有个结点（k >= 1）
• 对于任何一棵二叉树 ，如果终端结点数为，度为2的结点数为，则
• 具有n个结点的完全二叉树的深度为[] + 1
• 如果对于一棵有n个结点的完全二叉树的结点按照层序编号，如果i = 1，结点无双亲；如果i > 1,则双亲是[i/2]；如果2i  > n,则结点i无左孩子；否则其左孩子为2i；如果2i + 1 > n，则结点i无右孩子；否则右孩子为2i + 1;
• 

 

二叉树的顺序存储结构

二叉树的顺序储存结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的储存位置，也就是数组的下标要能体现出之间的逻辑关系。

二叉树的链式储存结构

二叉树每一个结点最多有两个孩子，所以设计为一个数据域和两个指针域的结点进行链接，这种链表也叫作二叉链表

 

二叉树的遍历

主要分为两类：深度优先遍历DFS和广度优先遍历BFS

深度优先遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历

广度优先遍历：层序遍历

深度优先遍历：——前序遍历DLR

规则是若二叉树为空， 则空操作返回，否则先访问根结点，

然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树

深度优先遍历——中序遍历LDR

规则是若是二叉树为空，则空操作返回，否则从根结点开始，中序遍历根结点的左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树

 

 深度优先遍历——后序遍历LRD

规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则从根节点开始，后序遍历根结点的左子树，然后后序遍历右子树，最后访问根结点

  

广度优先遍历：层序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层也就是根结点开始访问，从上面而下逐层遍历，再同一层中，按照从左到右的顺序对结点逐个访问