蓝桥杯算法备考

对象排序

class PII implements Comparable<PII>{
    int x;
    int y;
    public PII(int x,int y){
        this.x=x;
        this.y=y;
    }
    // 如果用到对象排序的话
    public int compareTo(PII o){
        return Integer.compare(x,o.x);//从小到大排序
        // return Integer compare(o.x,x); 从大到小排序
    }
}

public class Main{
    static PII[] p=new PII[100010];
    public static void main(String[] args)throws IOException{
        BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int n=Integer.parseInt(in.readLine());
        for(int i=0;i<n;i++){
            String[] strs=in.readLine().split(" ");
            int x=Integer.parseInt(strs[0]);
            int y=Integer.parseInt(strs[1]);
            p[i]=new PII(x,y);
        }
        Arrays.sort(p);
    }
}

归并排序

代码模板

void merge_sort(int q[],int l,int r){
	if(l>=r)return;
	
	int mid=l+r>>1;
	merge_sort(q,l,mid);
	merge_sort(q,mid+1,r);

	int k=0,i=l,j=mid+1;
	while(i<=mid && j<=r)
		if(q[i]<=q[j])tmp[k++]=q[i++]
		else tmp[k++]=q[j++];
	
	while(i<=mid) tmp[k++]=q[i++];
	while(j<=r) tmp[k++]=q[j++];

	for(i=l,j=0;i<=r;i++,j++)q[i]=tmp[j];
}

应用场景

• 求逆序对的数量

  // 当j>i且q[i]>a[j]时
  res+=mid-i+1;
  

整数二分

代码模板

bool check(int x){} //检查x是否满足某种性质

int bsearch_1(int l,int r){
	while(l<r){
		int mid=l+r>>1;
		if(check(mid))r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	return l;
}

int bsearch_2(int l,int r){
	while(l<r){
		int mid=l+r+1>>1;
		if(check(mid))l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	return l;
}

应用场景

• 对有序数列中快速查找某个满足条件的数

浮点数二分

代码模板

bool check(double x){} //检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l,double r){
	const double eps=1e-6;
	while(r-l>eps){
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))r=mid;
		else l=mid;
	}
	return l;
}

应用场景

• 从数据范围中找到某个浮点数，比如数的开三次方，开四次方

高精度

java版本高精度计算

import java.io.*;
import java.math.*;

public class Main{
	public static void main(String[] args)throws IOException{
		BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		String str=in.readLine();
		BigInteger a=new BigInteger(str);
		str=in.readLine();
		BigInteger b=new BigInteger(str);
		
		// 高精度加法
		System.out.println(a.add(b));
		// 高精度减法
		System.out.println(a.subtract(b));
		// 高精度乘法
		System.out.println(a.multiply(b));
		// 高精度除法
		System.out.println(a.divide(b));
		// 其他常用方法
		// gcd最大公约数
		// max,min,mod,pow,abs,sqrt
	}
}

应用场景

看题目要求随机应变

一维前缀和

s[i]=s[i-1]+a[i]
s[r]-s[l-1]=a[l]+...+a[r]

一维差分

B[l]+=c;B[r+1]-=c;
// 然后对B数组求和

二维前缀和

s[i,j] = 第i行第j列格子左上部分所有元素的和
以(x1,y1)为左上角，（x2,y2）为右下角的子矩阵的和为：
s[x2,y2] - s[x1-1,y2] - s[x2,y1-1] + s[x1-1,y1-1]

二维差分

给以（x1,y1）为左上角，（x2,y2）为右下角的子矩阵中的所有元素加上c:
s[x1,y1] += c, s[x2+1,y1] -= c,s[x1,y2+1] -= c, s[x2+1,y2+1] += c
然后对s数组求和就行

应用场景

适用于在某个矩阵区间加上某个值后，求每个位置的值

位运算

求n的第K位数字： n>>k&1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n
import java.io.*;

public class Main{
	public static void main(String[] args)throws IOException{
		BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		int n=Integer.parseInt(in.readLine());
		System.out.println(lowbit(n));
	}
	static int lowbit(int x) {
		return x & -x;
	}
}

区间合并

import java.io.*;
import java.util.*;

class PII implements Comparable<PII>{
	int l;
	int r;
	public PII(int l,int r) {
		this.l=l;
		this.r=r;
	}
	public int compareTo(PII o) {
		if(l>o.l)return 1;
		else if(l==o.l&&r>o.r)return 1;
		else return -1;
	}
}

public class Main{
	static int N=100010;
	static PII[] p=new PII[N];
	static int n;
	public static void main(String[] args)throws IOException{
		BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		n=Integer.parseInt(in.readLine());
		String[] strs;
		for(int i=0;i<n;i++) {
			strs=in.readLine().split(" ");
			int l=Integer.parseInt(strs[0]);
			int r=Integer.parseInt(strs[1]);
			p[i]=new PII(l,r);
		}
		merge();
	}
	static void merge() {
		List<PII> res=new ArrayList<>();
		
		Arrays.sort(p,1,n);
		int st = (int)-2e9;
		int ed = (int)-2e9;
		for(int i=0;i<n;i++) {
			if(ed<p[i].l) {
				if(st!=-2e9)res.add(new PII(st,ed));
				st=p[i].l;
				ed=p[i].r;
			}
			else ed=Math.max(ed,p[i].r);
		}
		if(st!=-2e9)res.add(new PII(st,ed));
		
		System.out.println(res.size());
	}
}

单链表

// head存储链表头，e[]存储节点的值，ne[]存储节点的next指针，idx表示当前用到了哪个节点
int head,e[N],ne[N],idx;

//初始化
void init(){
	head=-1;
	idx=0;
}

//在链表头插入一个数a
void insert(){
	e[idx]=a,ne[idx]=head,head=idx++;
}

//将头结点删除，需要保证头结点存在
void remove(){
	head=ne[head];
}

栈

// tt表示栈顶
int stk[N],tt=0;

//向栈顶插入一个数
stk[++tt]=x;

// 从栈顶弹出一个数
tt--;

//栈顶的值
stk[tt];

//判断栈是否为空,如果tt>0，则表示不为空
if(tt>0){

}

队列

// hh表示对头，tt表示队尾
int q[N],hh=0,tt=-1;

//向队尾插入一个数
q[++tt]=x;

//从队头弹出一个数
hh++;

//判断队列是否为空，如果hh<=tt,则表示不为空
if(hh<=tt){

}

单调栈

// 常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数
int tt=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
	while(tt && check(stk[tt],i))tt--;
	// while(tt && a[stk[tt]]>=a[i])tt--;
	stk[++tt]=i;
}

单调队列

// 常见模型：找出滑动窗口的最大值/最小值
int hh=0,tt=-1;
for(int i=0;i<n;i++){
	while(hh<=tt&&check_out(q[hh]))hh++;// 判断队头是否滑出窗口
	while(hh<=tt&&check(q[tt],i))tt--;
	q[++tt]=i;
}

import java.io.*;

public class Main{
    static int N=1000010;
    static int[] a=new int[N];
    static int[] q=new int[N];
    public static void main(String[] args)throws IOException{
        BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] strs=in.readLine().split(" ");
        int n=Integer.parseInt(strs[0]);
        int k=Integer.parseInt(strs[1]);
        strs=in.readLine().split(" ");
        for(int i=0;i<n;i++){
            a[i]=Integer.parseInt(strs[i]);
        }
        
        // 求滑动窗口最小值
        int hh=0,tt=-1;
        for(int i=0;i<n;i++){
            while(hh<=tt&&q[hh]<i-k+1)hh++;
            while(hh<=tt&&a[q[tt]]>=a[i])tt--;
            q[++tt]=i;
            if(i>=k-1)System.out.print(a[q[hh]]+" ");
        }
        System.out.println();
        
        // 求滑动窗口最大值
        hh=0;tt=-1;
        for(int i=0;i<n;i++){
            while(hh<=tt&&q[hh]<i-k+1)hh++;
            while(hh<=tt&&a[q[tt]]<=a[i])tt--;
            q[++tt]=i;
            if(i>=k-1)System.out.print(a[q[hh]]+" ");
        }
    }
}

KMP

// s[]是长文本,p[]是模式串，n是s的长度，m是p的长度

// 求模式串的Next数组：
for(int i=2,j=0;i<=m;i++){
	while(j && p[i]!=p[j+1]) j=ne[j];
	if(p[i]==p[j+1])j++;
	ne[i]=j;
}

// 匹配
for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
	while(j && s[i] != p[j+1]) j=ne[j];
	if(s[i] == p[j+1])j++;
	if(j==m)
	{
		j=ne[j];
	}
}

应用场景

• 字符串匹配

Tire树

// 插入一个字符串
import java.io.*;

public class Main{
	static int N=100010;
	static int[][] son=new int[N][26];
	static int[] cnt=new int[N];
	// 0号点既是根结点，又是空节点
	// son[][]存储树中每个节点的子节点
	// cnt[]存储以每个节点结尾的单词数量
	static int idx;
	public static void main(String[] args)throws IOException{
		BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		int n=Integer.parseInt(in.readLine());
		String[] strs;
		for(int i=0;i<n;i++) {
			strs=in.readLine().split(" ");
			char op=strs[0].charAt(0);
			String str=strs[1];
			if(op=='I') {
				insert(str);
			}
			else {
				System.out.println(query(str));
			}
		}
	}
	
	// 插入一个字符串
	static void insert(String str) {
		int p=0;
		for(int i=0;i<str.length();i++) {
			int u=str.charAt(i)-'a';
			if(son[p][u]==0)son[p][u]=++idx;
			p=son[p][u];
		}
		cnt[p]++;
	}

	// 查询字符串出现的次数
	static int query(String str) {
		int p=0;
		for(int i=0;i<str.length();i++) {
			int u=str.charAt(i)-'a';
			if(son[p][u]==0)return 0;
			p=son[p][u];
		}
		return cnt[p];
	}
}

应用场景

• 查询字符串出现过多少次

并查集

(1)朴素并查集

int p[N]; // 存储每个点的祖宗节点

// 返回x的祖宗节点
int find(int x){
	if(p[x]!=x)p[x]=find(p[x]);
	return p[x];
}

// 初始化，假定节点编号时1~n
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;

// 合并a和b所在的两个集合
p[find(a)]=find(b);

(2)维护size的并查集

int p[N],size[N];
// p[]存储每个点的祖宗节点，size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量

// 返回x的祖宗节点
int find(int x){
	if(p[x]!=x)p[x]=find(p[x]);
	return p[x];
}

// 初始化，假定节点编号是1~n
for(int i=1;i<=n;i++){
	p[i]=i;
	size[i]=1;
}

// 合并a和b所在的两个集合
size[find(b)] += size[find(a)];
p[find(a)] =find(b);

(3) 维护到祖宗节点距离的并查集

int p[N],d[N];
// p[]存储每个点的祖宗节点，d[x]存储x到p[x]的距离

// 返回x的祖宗节点
int find(int x){
	if(p[x]!=x){
		int u=find(p[x]);
		d[x]+=d[p[x]];
		p[x]=u;
	}
	return p[x];
}

// 初始化，假定节点编号是1~n
for(int i=1;i<=n;i++){
	p[i]=i;
	d[i]=0;
}

// 合并a和b所在的集合
p[find(a)]=find(b);
d[find(a)]=distance; //根据具体问题，初始化find(a)的偏移量

堆

java用优先队列来模拟堆

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main{
	public static void main(String[] args)throws IOException{
		BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		Queue<Integer> q=new PriorityQueue<>();
	}
}

哈希

java HashSet

import java.io.*;
import java.util.*;

class PII{
	int x;
	int y;
	public PII(int x,int y) {
		this.x=x;
		this.y=y;
	}
}

public class Main{
	public static void main(String[] args)throws IOException{
		BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		HashSet<PII> hs=new HashSet<PII>();
		int n=Integer.parseInt(in.readLine());
		String[] strs;
		for(int i=0;i<n;i++) {
			strs=in.readLine().split(" ");
			int x=Integer.parseInt(strs[0]);
			int y=Integer.parseInt(strs[1]);
			hs.add(new PII(x,y));
		}
		for(PII p:hs) {
			System.out.println(p.x+" "+p.y);
		}
	}
}

邻接表

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main{
	static int N=100010;
	static int[] head=new int[N];
	static int[] e=new int[N];
	static int[] ne=new int[N];
	static int[] w=new int[N];
	static int idx;
	static int m;
	public static void main(String[] args)throws IOException{
		BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		m=Integer.parseInt(in.readLine());
		String[] strs;
		Arrays.fill(head, -1);
		for(int i=0;i<m;i++) {
			strs=in.readLine().split(" ");
			int a=Integer.parseInt(strs[0]);
			int b=Integer.parseInt(strs[1]);
			int c=Integer.parseInt(strs[2]);
			add(a,b,c);
		}
	}
	static void add(int a,int b,int c) {
		e[idx]=b;w[idx]=c;ne[idx]=head[a];head[a]=idx++;
	}
}

树与图的遍历

深度优先遍历

int dfs(int u){
	st[u]=true;
	for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){
		int j=e[i];
		if(!st[j])dfs(j);
	}
}

宽度优先遍历

queue<int> q;
st[1]=true; //表示1号点已经被遍历过
q.push(1);

while(q.size()){
	int t=q.front();
	q.pop();
	
	for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
		int j=e[i];
		if(!st[j]){
			st[j]=true; //表示点j已经被遍历过
			q.push(j);
		}
	}
}

拓扑排序

bool topsort(){
	int hh=0,tt=-1;
	
	//d[i]存储点i的入度
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(d[i]==0){
			q[++tt]=i;
		}
	}
	
	while(hh<=tt){
		int t=q[hh++];
		
		for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
			int j=e[i];
			if(--d[j]==0)
				q[++tt]=j;
		}
	}
	
	return tt==n-1;
}

朴素dijkstra

int g[N][N]; //存储每条边
int dist[N]; //存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; //存储每个点的最短路时候已经确定

// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在就返回-1
int dijkstra(){
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);
	dist[1]=0;

	for(int i=0;i<n-1;i++){
		int t=-1; // 在还未确认最短路的点中，寻找距离最小的点
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j])
				t=j;
		}

		// 用t更新其他点的距离
		for(int j=1;j<=n;j++){
			dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
		}

		st[t]=true;
	}

	if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
	return dist[n];
}

堆优化版dijkstra

typedef pair<int,int> PII;

int n; // 点的数量
int h[N],w[N],e[N],ne[N],idx;  // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定

// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra(){
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);
	dist[1]=0;
	priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;
	heap.push({0,1}) //first存储距离，second存储节点编号
	
	while(heap.size()){
		auto t=heap.top();
		heap.pop();
		
		int ver = t.second,distance=t.first;
		
		if(st[ver]) continue;
		st[ver]=true;

		for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i]){
			int j=e[i];
			if(dist[j]>distance+w[i]){
				dist[j]=distance+w[i];
				heap.push({dist[j],j});
			}
		}
	}
	
	if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
	return dist[n];
}

spfa求最短路

int n; // 总点数
int h[N],w[N],e[N],ne[N],idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N],cnt[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; //存储每个点是否在队列中

// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa(){
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);
	dist[1]=0;

	queue<int> q;
	q.push(1);
	st[1]=true;

	while(q.size()){
		auto t=q.front();
		q.pop();

		st[t]=false;
		for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
			int j=e[i];
			if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
				dist[j]=dist[t]+w[i];
				if(!st[j]){ // 如果队列中已存在j,则不需要将j重复插入
					q.push(j);
					st[j]=true;
				}
			}
		}
	}
	
	if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
	return dist[n];
}

spfa判断负环

int n; // 总点数
int h[N],w[N],e[N],ne[N],idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N],cnt[N];  // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中

// 如果存在负环，则返回true,否则返回false;
bool spfa(){
	// 不需要初始化dist数组
	// 原理：如果某条最短路径上有n个点(除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。

	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		q.push(i);
		st[i]=true;
	}

	while(q.size()){
		auto t=q.front();
		q.pop();

		st[t]=false;
		
		for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
			int j=e[i];
			if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
				dist[j]=dist[t]+w[i];
				cnt[j]=cnt[t]+1;
				if(cnt[j]>=n) return ture; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
				if(!st[j]){
					q.push(j);
					st[j]=true;
				}
			}
		}
	}
	return false;
}

floyd

多源最短路

初始化：
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j) d[i][j]=0;
			else d[i][j]=INF;
		}
	}

// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd(){
	for(int k=1;k<=n;k++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
			}
		}
	}
}

朴素版prim算法

适用于点数较小的求生成树

int n; // n表示点数
int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N]; //存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N]; //存储每个点是否已经在生成树中

//如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f),否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim(){
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);

	int res=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		int t=-1;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(!st[j]&&(t==-1 || dist[t]>dist[j])
				t=j;
		}
		
		if(i && dist[t] == INF) return INF;

		if(i) res += dist[t];
		st[t] = true;

		for(int j=1;j<=n;j++)dist[j]=min(dist[j],g[t][j]);
	}
}

Kruskal算法

适用于点数较大的求最小生成树

int n,m; // n是点数，m是边数
int p[N]; // 并查集的父节点数组

class Edge Comparable<Edge>{  // 存储边
	int a;
	int b;
	int w;
	public Edge(int a,int b,int w){
		this.a=a;
		this.b=b;
		this.w=w;
	}
	public int compareTo(Edge o){
		return Integer.compare(w,o.w);
	}
}

Edge[] edges=new Edge[M];

int find(int x) //并查集核心操作
{
	if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
	return p[x];
}

int kruskal(){
	Arrays.sort(edges,edges+m);
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i; //初始化并查集
	int res=0,cnt=0;
	for(int i=0;i<m;i++){
		int a=edgs[i].a,b=edges[i].b,w=edges[i].w;
		a=find(a);b=find(b);
		if(a!=b){
			p[a]=b;
			res+w;
			cnt++;
		}
	}
	if(cnt<n-1)return INF;
	return res;
}

染色法判别二分图

int n; // n表示点数
int h[N],e[M],ne[M],idx; // 邻接表存储图
int color[N]; //表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色

// 参数： u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u,int c){
	color[u]=c;
	for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){
		int j=e[i];
		if(color[j] == -1){
			if(!dfs(j,!c)) return false;
		}
		else if(color[j] == c) return false;
	}
	return true;
}

bool check(){
	memset(color,-1,sizeof color);
	bool flag=true;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(color[i]==-1){
			if(!dfs(i,0)){
				flag=false;
				break;
			}
		}
	}
	return flag;
}

匈牙利算法

int n1,n2; // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N],e[M],ne[M],idx; // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N]; // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N]; // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过

bool find(int x){
	for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){
		int j=e[i];
		if(!st[j]){
			st[j]=true;
			if(match[j]==0 || find(match[j])){
				match[j]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

// 求最大匹配数,依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res=0;
for(int i=1;i<=n1;i++){
	memset(st,false,sizeof st);
	if(find(i))res++;
}

试除法判定质数

bool is_prime(int x){
	if(x<2)return false;
	for(int i=2;i<=x/i;i++){
		if(x%i==0)
			return false;
	}
	return true;
}

试除法分解质因数

void divide(int x){
	for(int i=2;i<=x/i;i++){
		if(x%i==0){
			int s=0;
			while(x%i==0) x/=i,s++;
			System.out.println(i+" "+s);
		}
	}
	if(x>1)System.out.println(x+" "+1);
}

朴素筛法求素数

int primes[N],cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N];  // st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(st[i])continue;
		primes[cnt++]=i;
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
			st[j]=true;
		}
	}
}

线性筛法求素数

int primes[N],cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!st[i])primes[cnt++]=i;
		for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
			st[primes[j]*i]=true;
			if(i%primes[j]==0)break;
		}
	}
}

试除法求所有约数

vector<int> get_divisors(int x){
	vector<int> res;
	for(int i=1;i<=x/i;i++){
		if(x%i==0){
			res.push_back(i);
			if(i!=x/i)res.push_back(x/i);
		}
	}
	sort(res.begin(),res.end());
	return res;
}

约数个数和约数之和

$$\begin{gathered} 如果N=p_1^{c_1}\ast p_2^{c_2}\ast ...\ast p_k^{c_k} \\ 约数个数：(c_1+1)\ast (c_2+1)\ast ...\ast (c_k+1) \\ 约数之和：(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{c_1})\ast ...\ast (p_k^0+p_k^1+...+p_k^{c_k}) \end{gathered}$$

欧几里得算法

int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

求欧拉函数

求某个数的欧拉函数
$$\begin{gathered} 如果N=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_m^{a_m} \\ \varphi (N)=N\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times ...\times \frac{p_m-1}{p_m} \end{gathered}$$

int phi(int x){
	int res=x;
	for(int i=2;i<=x/i;i++){
		if(x%i==0){
			res=res/i*(i-1);
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	}
	if(x>1)res=res/x*(x-1);
	return res;
}

筛法求欧拉函数

求1-n的每个数的欧拉函数

int primes[N],cnt; // primes[]存储所有素数
int euler[N]; // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉

void get_eulers(int n){
	euler[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!st[i]){
			primes[cnt++]=i;
			euler[i]=i-1;
		}
		for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
			int t=primes[j]*i;
			st[t]=true;
			if(i%primes[j]==0){
				euler[t]=euler[i] * primes[j];
				break;
			}
			euler[t]=euler[i]*(primes[j]-1);
		}
	}
}

快速幂

求$m^{k}modp$，时间复杂度为O(logk)

int qmi(int m,int k,int p){
	int res=1%p,t=m;
	while(k){
		if(k&1)res=res*t%p;
		t=t*t%p;
		k>>=1;
	}
	return res;
}

扩展欧几里得算法

// 求x,y,使得ax+by=gcd(a,b)
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return d;
}

高斯消元

// a[N][N]是增广矩阵
int gauss(){
	int c,r;
	for(c=0,r=0;c<n;c++){
		int t=r;
		for(int i=r;i<n;i++) // 找到绝对值最大的行
			if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])){
				t=i;
			}
		if(fabs(a[t][c])<eps)continue;

		for(int i=c;i<=n;i++) swap(a[t][i],a[r][i]); //将绝对值最大的行换到最顶端
		for(int i=n;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c]; // 将当前行的首位变成1
		for（int i=r+1;i<n;i++){  // 用当前行将下面所有的列消成0
			if(fabs(a[i][c])>eps){
				for(int j=n;j>=c;j--){
					a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];
				}
			}
		}
		r++;
	}
	if(r<n){
		for(int i=r;i<n;i++){
			if(fabs(a[i][n]>eps)
				return 2; // 无解
		}
		return 1; //有无穷组解
	}
	for(int i=n-1;i>=0;i--){
		for(int j=i+1;j<n;j++){
			a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];
		}
	}
	return 0;// 有唯一解
}

递推求组合数

// c[a][b]表示从a个苹果中选b个的方案数
for(int i=0;i<N;i++){
	for(int j=0;j<=i;j++){
		if(!j)c[i][j]=1;
		else c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
	}
}

来源：https://www.acwing.com/