向量相似搜索绕不开的局部敏感哈希

在搜索推荐中，通常使用相似Embedding进行推荐，此时就会有一个问题：如何快速找到与一个Embedding相近的其他Embedding。

如果两个Embedding在同一个向量空间中，我们就可以通过很多种方式（内积、余弦、欧氏距离等）计算其相似度；例如在推荐系统中，用户和物品的Embedding都在同一个空间中，物品总数为，那么计算一个用户和所以物品向量相似度的时间复杂度是()，而通常都能达到百万甚至上亿，这样的计算方式是无法接受的。

1 朴素方法

1.1 聚类
如果将相似点聚类在一起，在检索相似向量的时候则可以快速缩小范围，只计算目标Embedding所在的聚类范围内的相似度，这里可以使用叫常见的[K-means]聚类方法；

但是这种方法在聚类的边缘会出现些问题，如果只检索类别内的向量，则可能遗漏在其他类别中的相近点；另外，对于K-means方法，K值得选择也是一个问题，如果K选的太大，则迭代过程会很缓慢；K值选的太小，则搜索范围无法有效降低；

K值得选择经验：K=Embedding的维度开4次方根，调参按照2的整数次幂进行调整

1.2 索引
例如使用经典的[Kd-tree]向量空间索引算法中，同样存在边缘点的问题，Kd-tree会找到最邻近的区域，但是其他区域同样存在可能的最近点；另外Kd-tree的索引结构较为复杂，导致离线和在线的维护也相对复杂；

2 局部敏感哈希基本原理

局部敏感哈希（Locality Sensitive Hashing, LSH）高效地解决了Embedding匹配的问题。

局部敏感哈希基本思想，是【将相邻的点落入同一个“桶”，这样在进行最邻近搜索时，仅需要在一个桶内或邻近几个桶内进行搜索，只需要保证每个桶内的元素个数保持在一个较小的范围内】；

如下图所示例子，首先需要确定一个结论：在[欧式空间]中，【将高位空间的点映射到低维空间，原本接近的点在低维空间中肯定依然接近，但原本远离的点则有一定概率变成接近的点】。

利用上面的【低维空间保留高维空间相近距离关系的性质】，我们可以设计构造多个“桶”。假设是高位空间中的维Embedding向量，是随机生成的维向量，可以得到一个数值，即$h(v)=v\cdot x$【也就是两个等长向量点击的结果】。

根据这个数值，我们设计哈希函数ℎ()进行分桶：
$$h^{x,b}(v)=[\frac{x\cdot v+b}{w}]$$

上面公式中是分桶宽度(将映射后点积的结果，按照w的宽度进行分块)，是0到之间的一个均匀分布随机变量，其作用是避免分桶边界固化。为了避免映射操作损失信息，可以使用个哈希函数进行分桶，如果同时掉入多个桶，则其相似的概率将会增加。在确定了桶后，就在其有限的集合内进行[K近邻]搜索即可【本质看起来和PQ量化的思想一致】，PQ量化可以参考笔者文章Faiss PQ 乘积量化。

3 多桶策略

当存在多个哈希函数的时候，聚合中的点可能以不同的分布方式落在多个桶当中。最简单的就是一个点在匹配的桶中都出现（AND）以及在任意一个桶中出现（OR）两种策略。多桶策略还可以更复杂，比如三个分桶，可以选择同时落入两个桶中的点作为候选点。下面有一些建议的策略：

• 点数越多，越应该增加每个分桶函数中桶的个数；点数越少，越应该减少桶的个数；
• Embedding的维度越高，越应该增加分桶哈希函数的数量，并使用且的方式作为多桶策略；
• 若Embedding维度低，则可以少用哈希函数，并用或的方式作为分桶策略；

4 存储部署思路

例如在商品推荐系统中，商品称为(item)有对应的item_id，可以使用以下方案：

• 存储 item_id: BucketId
• 存储 BucketId: item_id
  在召回的时候，先使用目标item_id找到对应的BucketId，然后再通过BucketId桶中的商品，实际上就是建立[倒排索引]的思路。

5 总结

LSH相比一些朴素的方法，高效地解决了相似向量查找的问题，通过多桶机制减小其哈希分桶的损失；但是也存在一些问题，大数据量情况下哈希函数的个数不好确定，另外在进行哈希计算的时候，可能会存在哈希冲突，导致召回率降低。

此外向量相似查找，还有一些基于树、基于量化、基于图的方法，根据不同的场景也可一试。

  [1].局部敏感哈希-向量相似搜索