施密特正交化的几何意义与推导

对于一组向量，有时候我们需要对其进行正交化处理，也就是说，该组向量中任意两个向量都是互相垂直的。那么，要怎么做呢？

假设只有两个向量，$v_0$和$v_1$，正交化的几何示意图如下所示。

假设正交化之后的向量为$w_0$和$w_1$，那么由图可知，可得$w_0=v_0$，且有：

$w_1=v_1-\frac{v_1\cdot w_0}{|w_0|}$

这里减去的部分是向量$v_1$在向量$w_0$上的投影。然后将$w_0$和$w_1$进行归一化，就得到了最终的结果。

那么，如果有三个向量，$v_0$，$v_1$，$v_2$，这种情况要如何处理呢？同样地，正交化的几何示意图如下所示。

假设正交化之后的向量为$w_0$，$w_1$，$w_2$，由图可知，可得$w_0=v_0$，且有：

$w_1=v_1-\frac{v_1\cdot w_0}{|w_0|}$

$w_2=v_2-\frac{v_2\cdot w_0}{|w_0|}-\frac{v_2\cdot w_1}{|w_1|}$

从图中可以看出向量$w_2$即为向量$v_2$减去在$w_0$和$w_1$上的投影。将这三个向量进行归一化即可得到最终的结果。

那么，假如我们有一组向量$\{v_0,v_1,v_2,...,v_n\}$，要想求得它们正交化后的向量组$\{w_0,w_1,w_2,...,w_n\}$，步骤如下：

1. 令$w_0=v_0$；
2. 计算：$w_i=v_i-{\sum }_{j=0}^{i-1}\frac{v_i\cdot w_j}{|w_j|};(1\le i\le n)$；
3. 将得到的$\{w_0,w_1,w_2,...,w_n\}$进行正交化。